Stochastische Algorithmen und Nichtparametrische Statistik

Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Optimal transport (OT) distances between probability measures or histograms, including the Earth Mover's Distance and Monge-Kantorovich or Wasserstein distance, have an increasing number of applications in statistics, such as unsupervised learning, semi-supervised learning, clustering, text classification, as well as in image retrieval, clustering, segmentation, and classification, and other fields, e.g., economics and finance or condensed matter physics. [>> more]

Gewöhnliche Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Bewegungen von Partikeln zu modellieren. In ähnlicher Weise können partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der gesamten Trajektorien der Partikel eingesetzt werden. Es ist natürlich, zufälliges Rauschen in solche Modelle einzubauen: Teils kann man durch Einbeziehung von Zufälligkeit realistischere Modellierungen erhalten, teils ist sie inhärent fundamental für das Modell wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Finanzmärkten. [>> more]

Bei der Entwicklung von Finanzmodellen für eine praxisnahe Beschreibung eines Finanzprozesses, z.B. Aktienkurs oder EurIBOR Zinskurve, ist bekanntlich das klassische Black-Scholes Modell nicht ausreichend geeignet. Insbesondere werden am Markt beobachtete Volatilitäts-Profile durch das Black-Scholes Modell nicht erklärt. Aus diesem Grund werden Finanzmärkte typischerweise durch Prozesse mit stochastischer Volatilität oder Sprüngen modelliert, also durch Ito-Levy-Prozesse. Besonders im Fokus stehen heutzutage rauhe Volatilitätsmodelle, d.h. Hölder stetige Volatilitätsprozesse die wesentlich rauher sind als die Brown'sche Bewegung. [>> more]

Stochastische numerische Algorithmen für optimale Stopp- und Kontrollprobleme werden für die Bewertung von meist hochdimensionalen abrufbaren oder kündbaren Produkten oder die Bestimmung optimaler Entscheidungsstrategien in Systemen mit hochdimensionalen zugrunde liegenden Größen benötigt. Dabei liefern primäre Verfahren suboptimale Ausübungsstrategien, also untere Schätzungen des Zielwertes (z.B. Preis), während duale Verfahren obere Schätzungen liefern. Natürlich sollte die Lücke zwischen unteren und oberen Schranken, die sich aus diesen Ansätzen ergibt, so klein wie möglich sein. [>> more]

Die Theorie des Optimalen Transports verbindet partielle Differentialgleichungen, Geometrie und Stochastik. Die Forschung am WIAS konzentriert sich einerseits darauf, Methoden und Werkzeuge aus der Theorie des Optimalen Transports auf Probleme in der Statistik anzuwenden, wie beispielsweise halbüberwachtes und unüberwachtes Lernen, Clustering und Textklassifikation, sowie in der Bildrecherche durch Entwicklung und Analysis neuer numerischer Algorithmen und Schemata. Andererseits wird die Theorie des optimalen Transports erweitert, beispielsweise in Richtung unbalanciertem optimalen Transports und der Verbindung zu Evolutionsgleichungen über Gradientensysteme. [>> more]

Methoden der Statistische Inferenz dienen der Aufdeckung von Informationen und der Beurteilung ihrer Unsicherheit basierend auf Beobachtungsdaten aus verschiedensten Bereichen der Wirtschaft, Technik und Lebenswissenschaften. Ihre Anwendung umfasst die Modellierung basierend auf Informationen über den datengenerierenden Prozess, die auf der Modellierung basierende Analyse der Daten, und der auf Modelleigenschaften, erzielten Charakterisierungen der Daten und Wissen aus dem Anwendungsgebiet beruhenden Interpretation der Ergebnisse. Theoretische Untersuchungen zu Eigenschaften von Methoden und Modellen dienen der Verbesserung und Validierung dieses Prozesses. [>> more]

In vielen Anwendungen können die interessierenden Größen nur indirekt beobachtet werden oder müssen von anderen, beobachtbaren Größen abgeleitet werden. Darüberhinaus ist die Rekonstruktion von interessierenden Größen anhand von verrauschten Beobachtungen instabil. [>> more]

Stochastische Optimierung befasst sich im weitesten Sinne mit Optimierungsproblemen, die von Zufallparametern in der Zielfunktion oder den Restriktionen beeinflusst werden. [>> more]