Datengetriebene Mathematische Modellierung

Die Gruppe arbeitet schwerpunktmäßig zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Hysterese-Operatoren und ratenunabhängige Systeme

Zeitabhängige Prozesse in Physik, Biologie und Wirtschaft zeigen häufig ein ratenunabhängiges Eingangs-Ausgangs-Verhalten. In diesen Prozessen treten häufig Hystereseeffekte auf, die von einem dem Prozess innewohnenden Gedächtnis hervorgerufen werden. Am WIAS werden zwei Methoden verwendet, um derartige Systeme zu beschreiben: Ratenunabhängige Systeme sind ratenunabhängige quasistatische Evolutionsgleichungen, die mit einem Energiefunktional und einem Dissipationspotential formuliert werden. Hysterese-Operatoren bilden zeitabhängige (input-)Funktionen auf zeitabhängige (Output-) Funktionen ab, wobei der Operator raten-unabhängig und kausal ist. [>> more]

Maschinelles Lernen: Mathematische Grundlagen und Anwendungen

Maschinelles Lernen hat sich zu einer treibenden Kraft der modernen Wissenschaft und Technologie entwickelt. Mit zunehmendem Umfang und der wachsenden Komplexität von Daten bietet es wirkungsvolle Werkzeuge, um verborgene Strukturen zu erkennen, Vorhersagen zu treffen und Entscheidungen zu unterstützen, wo klassische Modellierungsansätze an ihre Grenzen stoßen. Am WIAS wird maschinelles Lernen aus einer mathematischen Perspektive untersucht und in unterschiedlichen Anwendungsfeldern eingesetzt. Ziel ist, die Verfahren effizienter, verlässlicher und besser interpretierbar zu machen. Dabei werden insbesondere Methoden entwickelt, die datengetriebene Modelle mit physikalischen Prinzipien kombinieren. [>> more]

Mehrskalenmodellierung, asymptotische Analysis und Hybridmodelle

Um das Zusammenspiel von verschiedenen physikalischen Effekten zu verstehen, müssen häufig mehrere Längenskalen in das Modell einbezogen werden. Dabei ist ein Ziel, die Beschreibungen uber partielle Differentialgleichungen zu vereinfachen. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen und nichtlineare Optimierung

Viele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen. [>> more]

Stochastische Optimierung

Stochastische Optimierung befasst sich im weitesten Sinne mit Optimierungsproblemen, die von Zufallparametern in der Zielfunktion oder den Restriktionen beeinflusst werden. [>> more]

Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und Simulation

Die mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf (Anfangs-) Randwert-Probleme mit Systemen partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]

Archiv

Weitere mathematische Forschungsthemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:

Direkte und inverse Probleme für die Maxwellgleichungen

Die Arbeiten umfassen Modelle für die induktive Erwärmung von Stahloberflächen und für die Streuung von Lichtwellen an periodischen Oberflächenstrukturen. Dazu wird die quasistationäre Maxwell-Gleichung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen gekoppelt bzw. es wird die zeitharmonische Maxwell-Gleichung kombiniert mit speziellen Ausstrahlungsbedingungen gelöst. Konvergenz numerischer Verfahren und verschiedene inverse Promblemstellungen werden analysiert. [>> more]

Magnetohydrodynamik

Bei der Züchtung von Halbleiterkristallen zur Herstellung von Halbleiterbauteilen werden oft elektromagnetische Felder zur Induktionsheizung eingesetzt. Die Modellierung der Kristallzüchtung führt in diesem Umfeld auf Systeme gekoppelter partieller Differentialgleichungen. [>> more]

Nichtlineare kinetische Gleichungen

Kinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]

Platten, Balken, Schalen und Bögen

Eine effiziente Beschreibung des mechanischen Verhaltens von speziellen 3D-Körpern, deren Abmessungen in einer oder zwei Richtungen klein gegenüber den übrigen Abmessungen sind, ist durch sogenannte Platten- oder Balkenmodelle möglich. [>> more]