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Eine effiziente Beschreibung des mechanischen Verhaltens von speziellen 3D-Körpern, deren Abmessungen in einer oder zwei Richtungen klein gegenüber den übrigen Abmessungen sind, ist durch sogenannte Platten- oder Balkenmodelle möglich. Die Bezeichnungen Platten und Balken beziehen sich auf solche Strukturen, die in Abgrenzung zu Schalen und Bögen im lastfreien Zustand eine ebene Mittelfläche bzw. gerade Mittellinie besitzen. Die Effizienz besteht in einer Dimensionsreduzierung, die dadurch erreicht wird, dass die 3D-Impulsbilanz im Falle der Platte über die Plattendicke und im Falle des Balkens über den Balkenquerschnitt integriert wird. Statt eines 3D-Anfangs-Randwertproblems ist im Falle einer Platte nur noch ein 2D-Problem zu lösen. Entsprechend wird beim Balken nur noch ein 1D-Anfangs-Randwertproblem gelöst.

unskaliert

Bei Platten und Balken lässt sich auf natürliche Weise ein Kleinheitsparameter ε einführen, nämlich das Verhältnis der Dicke h zur Länge l. Durch Anwendung asymptotischer Methoden auf die ursprüngliche 3D Impulsbilanz lassen sich die Differentialgleichungen der meisten klassischen Platten- und Balkenmodelle als die führenden Gleichungen bezüglich ε identifizieren. Dazu werden die entdimensionalisierten Verschiebungen und Spannungen so skaliert, dass ihre führenden Terme in der Größenordnung 1 liegen. Wichtig ist hierbei, dass die resultierende Skalierung von der Größe der Randdaten des ursprünglichen Problems abhängig ist.

skaliert

Die kirchhoffsche Plattengleichung und die bernoullischen Balkengleichungen lassen sich als die Gleichungen der führenden Ordnung in ε identifizieren. Es lässt sich zeigen, dass diese 2D- bzw. 1D-Theorien nur dann gute Näherungen des 3D-Problems liefern, wenn 1. die Platte dünn bzw. der Balken schlank ist. Außerdem müssen 2. die Durchbiegungen von mindestens quadratischer Ordnung in ε klein sein.

Liegen jedoch moderat dünne Platten bzw. moderat schlanke Balken vor, genügt es nicht, nur die führenden Terme in ε zu berücksichtigen. Für eine ausreichend genaue Approximation des 3D-Problems müssen auch Terme höherer Ordnung in ε berücksichtigt werden. Die bekanntesten linearen Modelle sind die Reissner-Mindlin-Platte und der Timoschenko-Balken. In diesen Modellen werden auch Terme berücksichtigt, die um zwei Größenordnungen von ε kleiner als die führenden Terme sind.

Rechtfertigen kleine Durchbiegungen die Annahme eines linearen Zusammenhangs zwischen Spannung und Verschiebungsgradienten (hookesches Elastizitätsgesetz), muss bei moderaten Durchbiegungen auch bei kleinen Verzerrungen der eigentlich nichtlineare Zusammenhang zwischen der Spannung und dem Verschiebungsgradienten berücksichtigt werden. Auf diese Weise lässt sich durch asymptotische Analysis die Gültigkeit des Modells der von Kármán-Platte zeigen, welches die Plattenversion des St.-Venant-Kirchhoff-Elastizitätsgesetzes beinhaltet.

In der Forschungsgruppe Thermodynamische Modellierung und Analyse von Phasenübergängen werden verschiedene Platten-, Balken- Schalen- und Bogenmodelle mathematisch untersucht. Es werden konkrete Randwertprobleme in Anlehnung an Aufgabenstellungen der Industrie numerisch mit Finite-Element-Methoden gelöst. Hierzu gehören beispielweise:

  • Spannungsberechnungen für verschiedene Waferbiegetests mit Hilfe des Plattenmodells nach von Kármán für anisotrope Einkristalle

  • Anwendung des Konzepts der Hystereseoperatoren auf dünne schwingende Balken bei kleinen elasto-plastischen Deformationen

  • Anwendung des Konzepts der Hystereseoperatoren auf dünne schwingende Platten und moderat dicke Platten und Balken bei kleinen elasto-plastischen Deformationen unter Verwendung der von Mises-Vergleichsspannung

  • Gestaltoptimierung von schlanken Bögen und dünnen Schalen für Strukturen, die in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum gekrümmt sind

  • Gestaltoptimierung von moderat dünnen Bögen und Schalen


Publikationen

 Artikel in Referierten Journalen

  • S. Neukamm, H. Olbermann, Homogenization of the nonlinear bending theory for plates, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, (published online on Sept. 14, 2014), DOI 10.1007/s00526-014-0765-2 .
    Abstract
    We carry out the spatially periodic homogenization of nonlinear bending theory for plates. The derivation is rigorous in the sense of Gamma-convergence. In contrast to what one naturally would expect, our result shows that the limiting functional is not simply a quadratic functional of the second fundamental form of the deformed plate as it is the case in nonlinear plate theory. It turns out that the limiting functional discriminates between whether the deformed plate is locally shaped like a "cylinder" or not. For the derivation we investigate the oscillatory behavior of sequences of second fundamental forms associated with isometric immersions, using two-scale convergence. This is a non-trivial task, since one has to treat two-scale convergence in connection with a nonlinear differential constraint.

  • R.B. Guenther, P. Krejčí, J. Sprekels, Small strain oscillations of an elastoplastic Kirchhoff plate, ZAMM. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 88 (2008), pp. 199--217.

  • P. Krejčí, J. Sprekels, Clamped elastic-ideally plastic beams and Prandtl--Ishlinskii hysteresis operators, Discrete and Continuous Dynamical Systems -- Series S, 1 (2008), pp. 283--292.

  • W. Dreyer, F. Duderstadt, S. Eichler, M. Jurisch, Stress analysis and bending tests for GaAs wafer, Microelectronics Reliability, 46 (2006), pp. 822--835.

  • V. Arnăutu, J. Sprekels, D. Tiba, A reduction approximation method for curved rods, Numerical Functional Analysis and Optimization. An International Journal, 26 (2005), pp. 139-155.

  • A. Ignat, J. Sprekels, D. Tiba, A model of a general elastic curved rod, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 25 (2002), pp. 835-854.

  • J. Sprekels, D. Tiba, An analytic approach to a generalized Naghdi shell model, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 12 (2002), pp. 175-190.

  • A. Ignat, J. Sprekels, D. Tiba, Analysis and optimization of nonsmooth arches, SIAM Journal on Control and Optimization, 40 (2001), pp. 1107-1133.

  • V. Arnăutu, H. Langmach, J. Sprekels, D. Tiba, On the approximation and the optimization of plates, Numerical Functional Analysis and Optimization. An International Journal, 21 (2000), pp. 337--354.

  • J. Sprekels, D. Tiba, Sur les arches lipschitziennes, Comptes Rendus Mathematique. Academie des Sciences. Paris, 331 (2000), pp. 179--184.

 Beiträge zu Sammelwerken

  • J. Sprekels, D. Tiba, Optimization problems for thin elastic structures, in: Optimal Control of Coupled Systems of Partial Differential Equations, K. Kunisch, G. Leugering, J. Sprekels, F. Tröltzsch, eds., 158 of Internat. Series Numer. Math., Birkhäuser, Basel et al., 2009, pp. 255--273.

 Vorträge, Poster

  • J. Sprekels, Oscillating elastoplastic bodies: Dimensional reduction, hysteresis operators, existence results, Direct, Inverse and Control Problems for PDE's (DICOP 08), September 22 - 26, 2008, Cortona, Italy, September 22, 2008.

  • J. Sprekels, Oscillating thin elastoplastic bodies: Dimensional reduction, hysteresis operators, existence results, Seminar Partial Differential Equations: Models and Applications, Università di Pavia, Dipartimento di Matematica ``F. Casorati'', Italy, May 20, 2008.

  • F. Duderstadt, Simulation eines Wafer-Biegetests durch Verwendung der von Kármán'schen Plattentheorie für kubisch anisotrope Materialien, Oberseminar Numerik/Analysis, Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig, January 9, 2007.

  • J. Sprekels, Elastic-ideally plastic beams and 1D Prandtl--Ishlinskii hysteresis operators, Workshop ``Phase Transitions'', June 3 - 9, 2007, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, June 7, 2007.

  • F. Duderstadt, A challenge to engineers: The Babuška-Paradox, International Conference on ``Programs and Algorithms of Numerical Mathematics 13'' in honor of Ivo Babuška's 80th birthday, May 28 - 31, 2006, Academy of Sciences of the Czech Republic, Mathematical Institute, Prague, May 31, 2006.

  • J. Sprekels, Phase field models with hysteresis, 5th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM 2003), July 7 - 11, 2003, Sydney, Australia, July 8, 2003.

Beteiligte Gruppen des WIAS