Nichtglatte Variationsprobleme und Operatorgleichungen

Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Partielle Differentialgleichungen bieten einen leistungsstarken und vielseitigen Rahmen für eine Kontinuumsbeschreibung von Phänomenen in Naturwissenschaft und Technik mit komplexen Wechselwirkungen und Abhängigkeiten. Am Weierstrass-Institut hat die Forschung hierzu drei hauptsächliche Schwerpunkte: (a) Mathematische Analysis allgemeiner Evolutionsgleichungen im Hinblick auf Existenz, Einzigkeit und Regularität von verschiedener Begriffen von Lösungen, (b) Entwicklung von variationellen Methoden unter Verwendung des Werkzeugkastens der Variationsrechnung, (c) Regularitätsergebnisse für Lösungen von elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. [>> more]

Freie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen beschreiben Situationen, in denen eine partielle Differentialgleichung auf einen Gebiet betrachtet wird, welches von der Lösung der Gleichung abhängt. Im Zusammenhang mit freien Randwertproblemen werden am WIAS Themen wie Eigenschaften von Lösungen, Phasenfeld-Approximationen, Kompatibilität mit der Thermodynamik, Beschreibung dünner Filme, Variationelle Ungleichungen, (implizite) Hindernisprobleme und Anwendungen beim Warmformen behandelt. [>> more]

Funktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen sowie mit der Analysis von mehrskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen verbunden. [>> more]

Ein Hauptarbeitsgebiet ist die Entwicklung, Untersuchung, Verbesserung und Anwendung numerischer Verfahren für Probleme der Strömungsmechanik. Die räumliche Diskretisierung der Gleichungen beruht auf Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden. Ein Schwerpunkt sind sogenannte physikalisch konsistente Verfahren, d.h. Verfahren, bei denen wichtige physikalische Eigenschaften des stetigen Problems auf das diskrete übertragen werden können. Es werden insbesondere Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen, van Roosbroeck-Systeme und Navier-Stokes-Gleichungen betrachtet. [>> more]

Viele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen. [>> more]

Stochastische Optimierung befasst sich im weitesten Sinne mit Optimierungsproblemen, die von Zufallparametern in der Zielfunktion oder den Restriktionen beeinflusst werden. [>> more]

Die mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf (Anfangs-) Randwert-Probleme mit Systemen partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. Am WIAS werden Methoden aus der Variationsrechnung angewandt und weiterentwickelt für Probleme aus verschiedenen Bereichen der Physik, wie z.B. in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik und der optimalen Steuerung. [>> more]