Stochastische Systeme mit Wechselwirkung

Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Die Theorie der Großen Abweichungen, ein Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, stellt Mittel bereit zur Beschreibung der asymptotischen exponentiellen Abfallrate von sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten für sehr große oder sehr kleine Werte eines Parameters. Beispiele für solche Parameter sind große Zeiten, große Anzahlen von Zufallsgrößen, der Radius großer Boxen, tiefe Temperaturen oder Approximationsparameter. Diese probabilistische Theorie ist auch unverzichtbar bei der Behandlung etlicher Modelle der statistischen Physik, denn sie macht sie einer Analyse mit Hilfe von Variationstechniken zugänglich. Am WIAS werden sowohl Theorie als auch diffizile Anwendungen in Physik und Chemie vorangetrieben. [>> more]

Bei der mathematischen Modellierung vieler Vorgänge und Phänomene in Natur und Technik werden Systeme mit vielen zufälligen Teilchen und Wechselwirkungen eingesetzt. Unser Verständnis von "Partikelsysteme" schließt dabei auch Punktprozesse mit Perkolationseigenschaften und zufälligen Graphenstrukturen sowie Gibbs'schen Interaktionen ein. Auch zufällige Bewegungen dieser Partikel gehören dazu, wie sie etwa in räumlichen Modellen für Kommunikation auftreten. Untersucht werden viele makroskopische Eigenschaften dieser Systeme, die sich aus den mikroskopischen Regeln ergeben, wie Phasenübergänge (Kondensation, Perkolation, Kristallisation) und kritische Eigenschaften wie Reskalierungsgrenzwerte. [>> more]

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. Am WIAS werden Methoden aus der Variationsrechnung angewandt und weiterentwickelt für Probleme aus verschiedenen Bereichen der Physik, wie z.B. in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik und der optimalen Steuerung. [>> more]

Systeme mit vielen zufälligen, im Raum verteilen Komponenten (Punkte, Kanten, Graphen, Trajektorien etc.) mit vielen kurz- oder auch langreichweitigen Interaktionen werden am WIAS auf ihre makroskopischen Eigenschaften hin untersucht. Besonderes Augenmerk wird gerichtet auf Formierung besonders großer Strukturen in dem System oder andere Phasenübergänge. [>> more]

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Weitere mathematische Forschungsthemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:

Kinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]

Durch Spektren zufälliger Operatoren können physikalische Vorgänge und Phänomene beschrieben werden. Im Mittelpunkt der Forschungen in diesem Gebiet stehen steht die mathematische Untersuchung von Konzentrationsphänomenen der Spektralzustände am Rande des Spektrums mit Hilfe probabilistischer Methoden (Feynman-Kac-Formel, große Abweichungen) und ihrer Auswirkungen auf elektrische Leiteigenschaften einer Metalllegierung, die das Modell beschreibt. Diese Untersuchungen werden mit der Analyse der analogen probabilistischen Modelle (zufällige Irrfahrten in zufälligem Potential) verbunden und führen so zu weiteren Ergebnissen von unabhängigem Interesse. [>> more]