Modellierung von Schädigungsprozessen

Die Gruppe arbeitet zu den folgenden mathematischen Forschungsthemen des WIAS:

Partielle Differentialgleichungen bieten einen leistungsstarken und vielseitigen Rahmen für eine Kontinuumsbeschreibung von Phänomenen in Naturwissenschaft und Technik mit komplexen Wechselwirkungen und Abhängigkeiten. Am Weierstrass-Institut hat die Forschung hierzu drei hauptsächliche Schwerpunkte: (a) Mathematische Analysis allgemeiner Evolutionsgleichungen im Hinblick auf Existenz, Einzigkeit und Regularität von verschiedener Begriffen von Lösungen, (b) Entwicklung von variationellen Methoden unter Verwendung des Werkzeugkastens der Variationsrechnung, (c) Regularitätsergebnisse für Lösungen von elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. [>> more]

Um das Zusammenspiel von verschiedenen physikalischen Effekten zu verstehen, müssen häufig mehrere Längenskalen in das Modell einbezogen werden. Dabei ist ein Ziel, die Beschreibungen uber partielle Differentialgleichungen zu vereinfachen. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]

Die Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]

Viele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. Am WIAS werden Methoden aus der Variationsrechnung angewandt und weiterentwickelt für Probleme aus verschiedenen Bereichen der Physik, wie z.B. in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik und der optimalen Steuerung. [>> more]