Anwendung der von Kármán'schen Plattentheorie und der Hertz'schen Pressung für die Spannungsanalyse zur Biegung von GaAs-Wafern im modifizierten Doppelringtest
Authors
- Duderstadt, Frank
2010 Mathematics Subject Classification
- 74B20 74K20 74M20 74M15
Keywords
- non-linear elasticity, anisotropy, plate theory, von Kármán, Babuska plate paradox
DOI
Abstract
In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Aspekte der Modellierung eines speziellen Biegetests von Gallium-Arsenid-Wafern diskutiert. Wafer sind dünne Kreisscheiben aus einkristallinem Material, aus denen in der Mikro- und Optoelektronikindustrie eingesetzt wird. Bei den hierzu notwendigen Herstellungsprozessen treten mechanische Beanspruchungen auf, die zum Bruch führen können. Der Biegetest dient dem Wafer-Hersteller zur Ermittlung der Bruchfestigkeit und zur Homogenitätsanalyse.
In der Arbeit werden unter anderem experimentell gegebene Last-Durchbiegungskurven unter Verwendung der von Kármán'schen Plattentheorie numerisch mit hoher Genauigkeit verifiziert. Das Kontaktproblem, welches bei der Lastaufbringung mit einer Druckkugel entsteht, wird durch Hertz'sche Pressung modelliert. In diesem Zusammenhang werden insbesondere anisotrope Effekte untersucht. Es werden numerisch berechnete isotrope Ersatzkonstanten zur Lösung des elastischen Biegeproblems angegeben, die sich nicht aus einer klassischen Mittelungstheorie, z.B. nach Voigt oder Reuss, herleiten lassen. Die von Kármán'sche Theorie wird zuerst auf klassischem Wege durch Formulierung bestimmter Kleinheitsannahmen aus dem 3D-Problem hergeleitet. Diese Annahmen werden anschließend durch formal asymptotische Entwicklung der Verschiebungen gerechtfertigt. Die numerische Umsetzung des Biegeproblems wird mit Hilfe von reduzierten Hermite-Dreieckselementen realisiert. Das resultierende nichtlineare Finite-Element-Schema wird vollständig beschrieben. Dabei wird bei der Formulierung der Randbedingungen auf dem frei drehbaren Stützrand dem Babuska-Plattenparadox Rechnung getragen, so dass hier trotz Verwendung geradliniger Plattenelemente zur Approximation eines krummlinigen Stützrandes Konvergenz erreicht wird.
Die numerischen Untersuchungen zeigen, dass in der Umgebung der Kontaktfläche, die unter der Druckkugel entsteht, die Voraussetzungen zur Gültigkeit der Plattentheorie verletzt sind. Deshalb werden am Schluss der Arbeit analytische Lösungen für den isotropen linearen Fall nach der 2D-Theorie gemäß Kirchhoff und der 3D-Theorie für dicke Platten unter Verwendung der Ansätze von Papkowitsch und Neuber verglichen. Insbesondere wird die Größe des Fehlers der berechneten Maximalspannungen in Abhängigkeit vom Kontaktradius bei Verwendung einer 2D-Theorie untersucht.
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