Mathematische Themen
Analysis partieller Differentialgleichungen und EvolutionsgleichungenPartielle Differentialgleichungen bieten einen leistungsstarken und vielseitigen Rahmen für eine Kontinuumsbeschreibung von Phänomenen in Naturwissenschaft und Technik mit komplexen Wechselwirkungen und Abhängigkeiten. Am Weierstrass-Institut hat die Forschung hierzu drei hauptsächliche Schwerpunkte: (a) Mathematische Analysis allgemeiner Evolutionsgleichungen im Hinblick auf Existenz, Einzigkeit und Regularität von verschiedener Begriffen von Lösungen, (b) Entwicklung von variationellen Methoden unter Verwendung des Werkzeugkastens der Variationsrechnung, (c) Regularitätsergebnisse für Lösungen von elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. [>> more]
Direkte und inverse Probleme für die MaxwellgleichungenDie Arbeiten umfassen Modelle für die induktive Erwärmung von Stahloberflächen und für die Streuung von Lichtwellen an periodischen Oberflächenstrukturen. Dazu wird die quasistationäre Maxwell-Gleichung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen gekoppelt bzw. es wird die zeitharmonische Maxwell-Gleichung kombiniert mit speziellen Ausstrahlungsbedingungen gelöst. Konvergenz numerischer Verfahren und verschiedene inverse Promblemstellungen werden analysiert. [>> more]
Freie Randwertprobleme für partielle DifferentialgleichungenFreie Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen beschreiben Situationen, in denen eine partielle Differentialgleichung auf einen Gebiet betrachtet wird, welches von der Lösung der Gleichung abhängt. Im Zusammenhang mit freien Randwertproblemen werden am WIAS Themen wie Eigenschaften von Lösungen, Phasenfeld-Approximationen, Kompatibilität mit der Thermodynamik, Beschreibung dünner Filme, Variationelle Ungleichungen, (implizite) Hindernisprobleme und Anwendungen beim Warmformen behandelt. [>> more]
Funktionalanalysis und OperatortheorieFunktionalanalysis und Operatortheorie sind am WIAS im Besonderen mit Problemen partieller Differentialgleichungen sowie mit der Analysis von mehrskalen, Hybrid- und ratenunabängigen Modellen verbunden. [>> more]
Interagierende stochastische VielteilchensystemeBei der mathematischen Modellierung vieler Vorgänge und Phänomene in Natur und Technik werden Systeme mit vielen zufälligen Teilchen und Wechselwirkungen eingesetzt. Unser Verständnis von "Partikelsysteme" schließt dabei auch Punktprozesse mit Perkolationseigenschaften und zufälligen Graphenstrukturen sowie Gibbs'schen Interaktionen ein. Auch zufällige Bewegungen dieser Partikel gehören dazu, wie sie etwa in räumlichen Modellen für Kommunikation auftreten. Untersucht werden viele makroskopische Eigenschaften dieser Systeme, die sich aus den mikroskopischen Regeln ergeben, wie Phasenübergänge (Kondensation, Perkolation, Kristallisation) und kritische Eigenschaften wie Reskalierungsgrenzwerte. [>> more]
Mehrskalenmodellierung, asymptotische Analysis und HybridmodelleUm das Zusammenspiel von verschiedenen physikalischen Effekten zu verstehen, müssen häufig mehrere Längenskalen in das Modell einbezogen werden. Dabei ist ein Ziel, die Beschreibungen uber partielle Differentialgleichungen zu vereinfachen. Um den effektiven Einfluss zwischen den Skalen zu verstehen, werden mathematische Methoden wie Homogenisierung, asymptotische Analysis oder Gamma-Konvergenz verwendet. Die entstehenden Effektivmodelle sind gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen, die sowohl Volumen- als auch Oberflächeneffekte enthalten. [>> more]
Modellierung, Analysis und Numerik von PhasenfeldmodellenDie Phasenfeldtheorie hat sich in den vergangenen Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung von Mikroprozessen und Morphologien auf der Mesoskala entwickelt. Sie wird beispielsweise zur Beschreibung von Erstarrungsvorgängen in Metallschmelzen, Entmischungen in Legierungen, Rissausbreitung in Werkstoffen und martensitischen Umwandlungen bei Stählen eingesetzt. [>> more]
Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen mit stochastischen KoeffizientenModelle anwendungsnaher Phänomene unterliegen stets Unsicherheiten, die sich in nichtlinearer Art auf die Lösungen übertragen. Numerische Verfahren für PDE mit stochastischen Daten ermöglichen, diese Unsicherheiten in Abhängigkeit der stochastischen Eingangsdaten zu quantifizieren, erfordern aufgrund der hohen Komplexiät allerdings moderne Kompressionsverfahren.. [>> more]
Numerische Verfahren für Probleme der StrömungsmechanikEin Hauptarbeitsgebiet ist die Entwicklung, Untersuchung, Verbesserung und Anwendung numerischer Verfahren für Probleme der Strömungsmechanik. Die räumliche Diskretisierung der Gleichungen beruht auf Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden. Ein Schwerpunkt sind sogenannte physikalisch konsistente Verfahren, d.h. Verfahren, bei denen wichtige physikalische Eigenschaften des stetigen Problems auf das diskrete übertragen werden können. Es werden insbesondere Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen, van Roosbroeck-Systeme und Navier-Stokes-Gleichungen betrachtet. [>> more]
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen und nichtlineare OptimierungViele Prozesse in der Natur und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, so zum Beispiel das Aufheizen oder Abkühlen von Körpern, die Ausbreitung von Schall- oder elektromagnetischen Wellen oder die Strömungsmechanik. In vielen Anwendungen ist allerdings nicht nur die Frage nach der Modellierung wichtig, sondern auch die Beeinflussung oder Steuerung des modellierten Systems von Interesse, um ein gewisses Ziel zu erreichen. [>> more]
Statistische InferenzMethoden der Statistische Inferenz dienen der Aufdeckung von Informationen und der Beurteilung ihrer Unsicherheit basierend auf Beobachtungsdaten aus verschiedensten Bereichen der Wirtschaft, Technik und Lebenswissenschaften. Ihre Anwendung umfasst die Modellierung basierend auf Informationen über den datengenerierenden Prozess, die auf der Modellierung basierende Analyse der Daten, und der auf Modelleigenschaften, erzielten Charakterisierungen der Daten und Wissen aus dem Anwendungsgebiet beruhenden Interpretation der Ergebnisse. Theoretische Untersuchungen zu Eigenschaften von Methoden und Modellen dienen der Verbesserung und Validierung dieses Prozesses. [>> more]
Systeme partieller Differentialgleichungen: Modellierung, numerische Analysis und SimulationDie mathematische Beschreibung einer großen Zahl von Fragestellungen aus Wissenschaft und Technik führt auf (Anfangs-) Randwert-Probleme mit Systemen partieller Differentialgleichungen (PDEs). [>> more]
VariationsrechnungViele physikalische Phänomene lassen sich durch Extremalprinzipien für geeignete Funktionale beschreiben, deren kritische Punkte als Gleichgewichtslösungen relevant sind, insbesondere lokale und globale Minimierer. Die Seifenblase minimiert die Oberfläche bei gegebenem Volumen und ein elastischer Körper minimiert die gespeicherte Energie unter gegebenen Randbedingungen. Am WIAS werden Methoden aus der Variationsrechnung angewandt und weiterentwickelt für Probleme aus verschiedenen Bereichen der Physik, wie z.B. in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik und der optimalen Steuerung. [>> more]
Archiv
Weitere MathematischeThemen, in denen das WIAS Kompetenz besitzt:
Algorithmen für die Erzeugung 3D randkonformer DelaunaygitterUm partielle Differentialgleichungen numerisch lösen zu können, muss das Gebiet, in dem sie gegeben sind, zunächst in viele einfache Zellen unterteilt werden. Die Genauigkeit und die Konvergenz der numerischen Lösungsmethode werden von der Qualität dieser Unterteilung stark beeinflusst. Ein randkonformes Delaunay-Gitter erlaubt die Konstruktion Voronoi-box basierter Finite-Volumen-Verfahren, welche es erlauben, wesentliche qualitative Eigenschaften vom stetigen auf das diskrete Problem zu übertragen. Ziel des Projektes ist die Erzeugung 3D randkonformer Delaunay-Gitter mit guter Qualität. [>> more]
MagnetohydrodynamikBei der Züchtung von Halbleiterkristallen zur Herstellung von Halbleiterbauteilen werden oft elektromagnetische Felder zur Induktionsheizung eingesetzt. Die Modellierung der Kristallzüchtung führt in diesem Umfeld auf Systeme gekoppelter partieller Differentialgleichungen. [>> more]
Nichtlineare kinetische GleichungenKinetische Gleichungen beschreiben die Rate, mit der ein System oder eine Mischung seine chemischen Eigenschaften wechselt. Soche Gleichungen sind oft nichtlinear, da die Wechselwirkungen in dem Material komplex sind und die Geschwindigkeit des Wechselns abhängt von der Größe des Systems sowie von der Stärke der externen Einflüsse. [>> more]
