Etliche stochastische Modelle haben ihre Bedeutung, Interpretation und Sinn nur, wenn sie in einen räumlichen Kontext eingebettet sind. Wir denken hier hauptsächlich an räumlich verteilte zufällige Strukturen wie Ensembles von Punktwolken, Pfade (z.B. Loops), geometrische Graphen, Verzweigungsbäume etc., die miteinander Interaktionen haben. Etliche der Modelle haben auch eine zeitliche Komponente, d.h., sie sind stochastische Prozesse solcher zufälligen Objekte. Das Ziel ist dann immer die Entwicklung von mathematischen Methoden für die makroskopische Beschreibung des Systems. Besonderes Interesse gilt Systemen, in denen Phasenübergänge versteckt sind, die mit solchen Methoden zur Oberfläche gebracht werden und deren Existenz rigoros bewiesen wird.

Besonderes Interesse gilt am WIAS Systemen, die unbeschränkt große, räumlich langreichweitige Objekte beinhalten und auf diese Weise Phasenübergänge ermöglichen, die von der Art des Hervortretens von makroskopischen Strukturen sind, sobald ein Parameter einen kritischen Schwellenwert übersteigt. Dies sind Übergänge von Kondensations- oder solche vom Gelations- oder Perkolationstyp, die alle eng zusammenhängen, aber signifikante Unterschiede aufweisen.

Einer der Hauptuntersuchungsgegenstände am WIAS sind Modelle zufälliger interagierender Loops in einer großen Box im thermodynamischen Grenzwert, wo die Gesamtlänge aller Loops von der Größenordnung des Volumens der Box ist. Der prominenteste Vertreter solcher Modelle ist das interagierende Bose-Gas, in dem der berühmte Bose-Einstein-Kondensations-Phasenübergang vermutet wird: das Auftreten von Loops sehr großer Länge, sobald die Temperatur unter eine kritische Grenze fällt. Solche Modelle sind wichtige Prototypen von Spinmodellen, also Gibbs'schen Modellen von Partikeln, deren Spinraum unbeschränkt ist und Anlass zu neuen Effekten gibt. Am WIAS werden zwei unterschiedliche Strategien verfolgt (siehe auch das mathematische Thema "Interagierende stochastische Vielteilchensysteme" und "Große Abweichungen"), und zwar die Analyse der freien Energie des Systems im thermodynamischen Grenzwert in Termen einer variationellen Beschreibung sowie mit Hilfe von unendlich langen Brown'schen Bewegungen, sowie die Anwendung von Manipulationen wie Reflektionen und die Herleitung von Korrelationsungleichungen.

Eine andere Richtung, in der das WIAS arbeitet, sind räumliche Modelle für große Partikelwolken mit Koagulationsmechanismus (siehe das Anwendungsgebiet "Koagulation"), in denen die zufällige Entstehung besonders großer (makroskopischer) Partikel für gewisse Koagulationskerne nach genügend später Zeit im Grenzwert großer Partikelsysteme untersucht wird, sogenannte Gelation. Dieser Phasenübergang kann als eine Art Explosionsübergang gesehen werden, denn alle anderen Partikel wachsen normal weiter, und ab und zu springt eines über diese Übergangsgrenze. Die Neuheit der Arbeit des WIAS besteht darin, räumliche Modelle zu betrachten. Gegenwärtig werden verinfachte Modelle betrachtet, in denen die Koagulation nicht durch eine Ortsverändreung der beiden beteiligten Partikel ausgedrückt wird, sondern durch das Einfügen einer Kante; auf diese Art entsteht einzufälliger geometrischer wachsender Graph, dessen Zusammenhangskomponenten studiert werden. Das Hauptmittel hier ist eine kombinatorische Entwicklung sowie ein Ansatz der Theorie der großen Abweichungen, siehe das gleichnamige mathematische Thema.

Research
Eine Simulation eines Systems Brown'scher Loops als Marken an den Punkten eines Punktprozesses

Entscheidende räumliche Einflüsse gibt es auch bei der asymptotischen Analyse des parabolischen Anderson-Modells (siehe auch das mathematische Thema "Spektra zufälliger Operatoren"), dess räumlicher Zufall als ein Gauß'sches weißes Rauschen gegeben ist. Eine sinnvolle Definition dieses Modells ist eine Aufgabe für sich gewesen und gelingt nur in Dimensionen bis zu drei; wir sind am zeitlich asymptotischen Verhalten interessiert, insbesondere im Hinblick auf das Phänomen der Intermittenz. Für räumlich diskrete Modelle ist dieses Phänomen mittlerweile gut verstanden, aber im kontinuierlichen Fall mit weißem Rauschen ist dies noch eine Herausforderung, der das WIAS sich in Dimension zwei stellt. Da die Lösung dieser Gleichung hier keine Funktion, sondern eine Distribution ist, ist eine Formulierung des Effektes (nämlich dass sich die Hauptmasse der Lösung auf kleinen Inseln konzentriert) a priori unklar und der Beweis schwierig.


Publikationen

  Monografien

  • B. Jahnel, W. König, Probabilistic Methods in Telecommunications, D. Mazlum, ed., Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser Basel, 2020, XI, 200 pages, (Monograph Published), DOI 10.1007/978-3-030-36090-0 .
    Abstract
    This textbook series presents concise introductions to current topics in mathematics and mainly addresses advanced undergraduates and master students. The concept is to offer small books covering subject matter equivalent to 2- or 3-hour lectures or seminars which are also suitable for self-study. The books provide students and teachers with new perspectives and novel approaches. They may feature examples and exercises to illustrate key concepts and applications of the theoretical contents. The series also includes textbooks specifically speaking to the needs of students from other disciplines such as physics, computer science, engineering, life sciences, finance.

  • W. König, Große Abweichungen, Techniken und Anwendungen, M. Brokate, A. Heinze , K.-H. Hoffmann , M. Kang , G. Götz , M. Kerz , S. Otmar, eds., Mathematik Kompakt, Birkhäuser Basel, 2020, VIII, 167 pages, (Monograph Published), DOI 10.1007/978-3-030-52778-5 .
    Abstract
    Die Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor- und Masterabschlüssen. Inhaltlich werden unter Berücksichtigung der neuen Studienstrukturen die aktuellen Entwicklungen des Faches aufgegriffen und kompakt dargestellt. Die modular aufgebaute Reihe richtet sich an Dozenten und ihre Studierenden in Bachelor- und Masterstudiengängen und alle, die einen kompakten Einstieg in aktuelle Themenfelder der Mathematik suchen. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben stehen zur Verfügung, um die Anwendung der Inhalte zu veranschaulichen. Kompakt: relevantes Wissen auf 150 Seiten Lernen leicht gemacht: Beispiele und Übungsaufgaben veranschaulichen die Anwendung der Inhalte Praktisch für Dozenten: jeder Band dient als Vorlage für eine 2-stündige Lehrveranstaltung

  Artikel in Referierten Journalen

  • A. Hinsen, B. Jahnel, E. Cali, J.-P. Wary, Phase transitions for chase-escape models on Poisson--Gilbert graphs, Electronic Communications in Probability, 25 (2020), pp. 25/1--25/14, DOI 10.1214/20-ECP306 .
    Abstract
    We present results on phase transitions of local and global survival in a two-species model on Gilbert graphs. At initial time there is an infection at the origin that propagates on the Gilbert graph according to a continuous-time nearest-neighbor interacting particle system. The Gilbert graph consists of susceptible nodes and nodes of a second type, which we call white knights. The infection can spread on susceptible nodes without restriction. If the infection reaches a white knight, this white knight starts to spread on the set of infected nodes according to the same mechanism, with a potentially different rate, giving rise to a competition of chase and escape. We show well-definedness of the model, isolate regimes of global survival and extinction of the infection and present estimates on local survival. The proofs rest on comparisons to the process on trees, percolation arguments and finite-degree approximations of the underlying random graphs.

  • CH. Hirsch, B. Jahnel, A. Tóbiás, Lower large deviations for geometric functionals, Electronic Communications in Probability, 25 (2020), pp. 41/1--41/12, DOI 10.1214/20-ECP322 .
    Abstract
    This work develops a methodology for analyzing large-deviation lower tails associated with geometric functionals computed on a homogeneous Poisson point process. The technique applies to characteristics expressed in terms of stabilizing score functions exhibiting suitable monotonicity properties. We apply our results to clique counts in the random geometric graph, intrinsic volumes of Poisson--Voronoi cells, as well as power-weighted edge lengths in the random geometric, κ-nearest neighbor and relative neighborhood graph.

  • A. Tóbiás, B. Jahnel, Exponential moments for planar tessellations, Journal of Statistical Physics, 179 (2020), pp. 90--109, DOI 10.1007/s10955-020-02521-3 .
    Abstract
    In this paper we show existence of all exponential moments for the total edge length in a unit disc for a family of planar tessellations based on Poisson point processes. Apart from classical such tessellations like the Poisson--Voronoi, Poisson--Delaunay and Poisson line tessellation, we also treat the Johnson--Mehl tessellation, Manhattan grids, nested versions and Palm versions. As part of our proofs, for some planar tessellations, we also derive existence of exponential moments for the number of cells and the number of edges intersecting the unit disk.

  Beiträge zu Sammelwerken

  • A. Hinsen, B. Jahnel, E. Cali, J.-P. Wary, Malware propagation in urban D2D networks, in: IEEE 18th International Symposium on on Modeling and Optimization in Mobile, ad Hoc, and Wireless Networks, (WiOpt), Volos, Greece, Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2020, pp. 1--9.
    Abstract
    We introduce and analyze models for the propagation of malware in pure D2D networks given via stationary Cox--Gilbert graphs. Here, the devices form a Poisson point process with random intensity measure λ, Λ where Λ is stationary and given, for example, by the edge-length measure of a realization of a Poisson--Voronoi tessellation that represents an urban street system. We assume that, at initial time, a typical device at the center of the network carries a malware and starts to infect neighboring devices after random waiting times. Here we focus on Markovian models, where the waiting times are exponential random variables, and non-Markovian models, where the waiting times feature strictly positive minimal and finite maximal waiting times. We present numerical results for the speed of propagation depending on the system parameters. In a second step, we introduce and analyze a counter measure for the malware propagation given by special devices called white knights, which have the ability, once attacked, to eliminate the malware from infected devices and turn them into white knights. Based on simulations, we isolate parameter regimes in which the malware survives or is eliminated, both in the Markovian and non-Markovian setting.

  • A. Hinsen, Ch. Hirsch, B. Jahnel, E. Cali, Typical Voronoi cells for Cox point processes on Manhatten grids, in: 2019 International Symposium on Modeling and Optimization in Mobile, ad Hoc, and Wireless Networks (WiOPT), Avignon, France, 2019, Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2020, pp. 1--6, DOI 10.23919/WiOPT47501.2019.9144122 .
    Abstract
    The typical cell is a key concept for stochastic-geometry based modeling in communication networks, as it provides a rigorous framework for describing properties of a serving zone associated with a component selected at random in a large network. We consider a setting where network components are located on a large street network. While earlier investigations were restricted to street systems without preferred directions, in this paper we derive the distribution of the typical cell in Manhattan-type systems characterized by a pattern of horizontal and vertical streets. We explain how the mathematical description can be turned into a simulation algorithm and provide numerical results uncovering novel effects when compared to classical isotropic networks.

  Preprints, Reports, Technical Reports

  • S. Jansen, W. König, B. Schmidt, F. Theil, Distribution of cracks in a chain of atoms at low temperature, Preprint no. 2789, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2789 .
    Abstract, PDF (414 kByte)
    We consider a one-dimensional classical many-body system with interaction potential of Lennard--Jones type in the thermodynamic limit at low temperature 1/β ∈ (0, ∞). The ground state is a periodic lattice. We show that when the density is strictly smaller than the density of the ground state lattice, the system with N particles fills space by alternating approximately crystalline domains (clusters) with empty domains (voids) due to cracked bonds. The number of domains is of the order of N exp(-β e surf /2) with e surf > 0 a surface energy.

  • B. Jahnel, A. Tóbiás, Absence of percolation in graphs based on stationary point processes with degrees bounded by two, Preprint no. 2774, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2774 .
    Abstract, PDF (548 kByte)
    We consider undirected graphs that arise as deterministic functions of stationary point processes such that each point has degree bounded by two. For a large class of point processes and edge-drawing rules, we show that the arising graph has no infinite connected component, almost surely. In particular, this extends our previous result for SINR graphs based on stabilizing Cox point processes and verifies the conjecture of Balister and Bollobás that the bidirectional $k$-nearest neighbor graph of a two-dimensional homogeneous Poisson point process does not percolate for k=2.

  • B. Jahnel, A. Tóbiás, E. Cali, Phase transitions for the Boolean model of continuum percolation for Cox point processes, Preprint no. 2704, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2704 .
    Abstract, PDF (389 kByte)
    We consider the Boolean model with random radii based on Cox point processes. Under a condition of stabilization for the random environment, we establish existence and non-existence of subcritical regimes for the size of the cluster at the origin in terms of volume, diameter and number of points. Further, we prove uniqueness of the infinite cluster for sufficiently connected environments.

  • A. Hinsen, B. Jahnel, E. Cali, J.-P. Wary, Malware propagation in urban D2D networks, Preprint no. 2674, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2674 .
    Abstract, PDF (3133 kByte)
    We introduce and analyze models for the propagation of malware in pure D2D networks given via stationary Cox--Gilbert graphs. Here, the devices form a Poisson point process with random intensity measure λ, Λ where Λ is stationary and given, for example, by the edge-length measure of a realization of a Poisson--Voronoi tessellation that represents an urban street system. We assume that, at initial time, a typical device at the center of the network carries a malware and starts to infect neighboring devices after random waiting times. Here we focus on Markovian models, where the waiting times are exponential random variables, and non-Markovian models, where the waiting times feature strictly positive minimal and finite maximal waiting times. We present numerical results for the speed of propagation depending on the system parameters. In a second step, we introduce and analyze a counter measure for the malware propagation given by special devices called white knights, which have the ability, once attacked, to eliminate the malware from infected devices and turn them into white knights. Based on simulations, we isolate parameter regimes in which the malware survives or is eliminated, both in the Markovian and non-Markovian setting.

  Vorträge, Poster

  • B. Jahnel, Phase transitions for the Boolean model for Cox point processes (online talk), DYOGENE Seminar (Online Event), INRIA Paris, France, January 11, 2021.

  • B. Jahnel, Phase transitions for the Boolean model for Cox point processes (online talk), Bernoulli-IMS One World Symposium 2020 (Online Event), August 24 - 28, 2020, A virtual one week symposium on Probability and Mathematical Statistics, August 27, 2020.