Projektbeschreibungen

Streuung elastischer Wellen an Inhomogenitäten

Bearbeiter: W. Dreyer , K. Wilmanski  

Kooperation: E. Neumann, M. Vijayendra (BAM, Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Das Ziel der Untersuchung ist die Berechnung von Phasengeschwindigkeit und Dämpfung.

Das mathematische Modell fällt in die Klasse der Eigenwertprobleme und ist wie folgt aufgebaut. Lokal, d. h. in einem Korn, lautet die Differentialgleichung für den Ortsanteil des Verschiebungsfeldes v_j(x)  

$$L_{ij} v_j=0\qquad \text{mit}\qquad L_{ij}=\rho _0\omega ^2\delta _{ij}+\partial _kC_{ikjl}\partial _l.$$ (1)

Die Steifigkeitsmatrix C_ikjl hat die Darstellung

  $$\begin{eqnarray} C_{ikjl} &=&O_{im}O_{kn}O_{jr}O_{ls}C_{mnrs}^{KS}\quad , \ \qu... ...+\delta _{ms}\delta _{nr}\right) +\mu ^{^{\prime }}\delta _{mnrs}.\end{eqnarray}$$

Hier sind $\lambda$ und $\mu$ die Lame Koeffizienten eines Korns, $\mu ^{^{\prime }}$ ist der Anisotropiefaktor für kubische Symmetrie, und das Symbol $\delta _{mnrs}$ ist 1, wenn alle Indizes gleich sind und sonst. Die orthogonalen Matrizen O_im sind Drehungen, welche das Kristallsystem KS eines individuellen Korns auf das Laborsystem drehen.

Von Interesse ist aber nicht die Gleichung (1), sondern eine entsprechende Gleichung für Mittelwerte $\left\langle v_j\right\rangle, \left\langle C_{ikjl}\right\rangle$, die hier als Scharmittel eingeführt werden. Das heißt, wir betrachten Mittelwerte über eine Gesamtheit von Körpern, die alle die in Abb. 1 gezeichnete Struktur haben.

Die bereits durchgeführten Rechnungen wurden von der Bundesanstalt für Materialforschung mittels einer Eigenwertgleichung vorgenommen, die auf einer Aufspaltung von L gemäß  

$$L_{ij}=L_{ij}^0+\varepsilon L_{ij}^1\quad ,\quad \varepsilon =\frac{\mu ^{^{\prime }}}\mu$$ (2)

basiert. Die formale Darstellung der Eigenwertgleichung lautet dann  

$$\left( L_{ij}^0-\varepsilon \left\langle L_{ij}^1\right\rang... ...\right\rangle \right) \right) \left\langle v_j\right\rangle =0.$$ (3)

Dies ist bekannt als Kellersche Näherung [1], die Terme ab der Ordnung $\varepsilon ^3$ vernachlässigt. Eine sorgfältige Untersuchung hat gezeigt, daß hierdurch hinsichtlich der Dämpfung keine gute Übereinstimmung mit experimentellen Daten zu erzielen ist.

Wir sind der Ansicht, daß die getroffene Wahl des Kleinheitsparameters $\varepsilon$ nicht angemessen ist, da die Bedingung $\varepsilon \ll 1$ bei den zur Untersuchung anstehenden Materialien nicht erfüllt ist.

Wir argumentieren stattdessen folgendermaßen: Wir bilden anstelle von (4)  

$$L_{ij}=\left\langle L_{ij}\right\rangle +L_{ij}^{^{\prime }}\quad ,\quad v_j=\left\langle v_j\right\rangle +v_j^{^{\prime }},$$ (4)

und erhalten ohne die Einschränkung $\varepsilon \ll 1$:

$$\left[\left\langle L_{ij}\right\rangle - \left\langle L'_{ir... ... L'_{kj}\right\rangle\right] \left\langle v_j\right\rangle = 0.$$ (5)

Die Eigenschaften und Unterschiede dieser Eigenwertgleichung zu der formalen Entwicklung (5) werden zur Zeit untersucht.

Projektliteratur:

1.   F. E. STANKE, G. S. KINO, A unified theory for elastic wave propagation in polycrystalline materials,
   J. Acoust. Soc. Amer., 75(3) (1984).