Röntgenbeugungsexperimente mit Superlegierungen

Bearbeiter: W. Dreyer  

Kooperation: W. Reimers (HMI, Berlin), J. Olschewski (BAM, Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Ein prominentes Beispiel für einkristalline mehrphasige Legierungen sind sogenannte Nickelbasis-Superlegierungen, die als Turbinenschaufelmaterial unter großer mechanischer Last und bei Temperaturen um $1100{{}^\circ}C$ in Flugturbinen im Einsatz sind. Eine einkristalline Superlegierung ist aus zwei Phasen ($\gamma$ und $\gamma ^{\prime }$ ) aufgebaut, die auf einem gemeinsamen kubisch flächenzentrierten Kristallgitter präsent sind. Im allgemeinen konstituiert die $\gamma-$Phase die Matrix, in welcher $\gamma ^{\prime}-$Teilchen in Form von nahezu periodisch angeordneten Kuben ausgefallen sind. Beide Phasen haben leicht unterschiedliche Gitterkonstanten, und da an den Phasengrenzen ein kohärenter Übergang stattfindet, kommt es zu Eigenspannungen.

Am Hahn-Meitner-Institut (HMI) werden diese Eigenspannungen und insbesondere die unterschiedlichen Gitterkonstanten mittels Röntgenbeugungsintensitätsverteilungen gemessen. Die Interpretation der gemessenen Röntgenintensität, d. h. die Zuordnung der Maxima zu den in $\gamma$ und $\gamma ^{\prime }$ vorliegenden Gitterkonstanten ist ein großes Problem und kann nur dann in eindeutiger Weise vorgenommen werden, wenn zusätzlich berechnete Intensitätsverteilungen vorliegen.

Das zugehörige mathematische Modell konstituiert sich aus

(i) dem Gleichgewicht der Kräfte  

$$\frac{\partial \sigma _{ij}}{\partial x_j}=0,$$ (1)

(ii) dem Hookeschen Gesetz für die Spannungen  

$$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\left( \varepsilon _{kl}-\varepsilon _{kl}^{*}\right) ,$$ (2)

mit ortsabhängiger Steifigkeitsmatrix C_ijkl aus der kubischen Symmetriegruppe und dem Feld $\varepsilon _{kl}^{*}$ der Eigenverzerrungen. Beide Größen sind als bekannt vorausgesetzt.

(iii) der kinematischen Relation, die Verzerrungen $\varepsilon _{kl}$ und Verschiebungen u_i verknüpft,  

$$\varepsilon _{ij}=\frac 12\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) .$$ (3)

Die Berechnung der Felder der Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen wird wie folgt durchgeführt: Zunächst wird das Problem mit ortsabhängiger Steifigkeitsmatrix C_ijkl auf ein Hilfsproblem mit ortsunabhängiger Steifigkeitsmatrix C_ijkl^H zurückgeführt. Hierzu wird diese Ortsabhängigkeit auf eine Hilfsverzerrung $\varepsilon_{kl}^H$ verlagert gemäß  

$$C_{ijkl}\left( \varepsilon _{kl}-\varepsilon _{kl}^{*}\right... ...psilon _{kl}-\varepsilon _{kl}^{*}-\varepsilon _{kl}^H\right) .$$ (4)

Dieses Problem kann nun mittels Fouriertransformation analytisch gelöst werden. Die gesuchten Verzerrungen folgen anschließend durch Lösung einer Fredholmschen Integralgleichung, deren Lösung iterativ über eine Neumannsche Reihe gefunden wird.

Für eine gegebene Richtung stellt die Röntgenintensitätsverteilung eine Häufigkeitskurve für das Auftreten von Verzerrungen in dieser Richtung dar.

Projektliteratur:

1.   W. DREYER, W. MÜLLER, J. OLSCHEWSKI, An approximate analytical 2D solution for the stresses and strains in eigenstrained cubic materials,
   Internat. J. Solids Structures, im Druck.