Anwendungen des Maximum-Entropie-Prinzips

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik  

Kooperation: T. Ruggeri (Universität Bologna, Italien)

Beschreibung der Forschungsarbeit:Das Problem der Entstehung und zeitlichen Entwicklung von Schockwellen tritt in den Forschungsaktivitäten der Forschungsgruppe Kontinuumsmechanik in mehreren Zusammenhängen auf. Diese sind beispielsweise: (i) Stoßwellen in organischen Substanzen, (ii) Ultraschalldiagnostik, (iii) Kavitation, insbesondere der Kollaps gasgefüllter Blasen. Ein wichtiger Teilaspekt ist in allen diesen Fällen die Wechselwirkung von Stoßwellen untereinander und mit möglicherweise bewegten Wänden, die durch Blasenoberflächen oder eine Membran realisiert sein können.

Ursprünglich planten wir die Untersuchung dieses Problemkreises für Gase durchzuführen, mittels der in nahezu vollendeter Form vorliegenden Erweiterten Thermodynamik (ET). Diese beschreibt thermodynamische Prozesse mit Systemen quasilinearer PDGs vom Typ symmetrisch hyperbolisch mit konvexer Erweiterung.

Die ET erzeugt diese Systeme über das Maximum Entropie Prinzip (MEP). Dieses Prinzip verknüpft die kinetische Gastheorie mit der phänomenologischen ET. Auf der Skala der kinetischen Gastheorie gibt es zwei extreme Bereiche, wo die Thermodynamik entweder durch Dominanz von Teilchenkollisionen oder durch freien Flug der Gasteilchen bestimmt wird.

Das MEP in klassischer Form sorgt zu jedem Zeitpunkt für maximale Entropie. Dies ist angebracht, wenn Teilchenkollisionen der dominierende Effekt sind, aber nicht, wenn Eigenschaften des freien Fluges makroskopisch sichtbar werden. Dies passiert in verdünnten Gasen und/oder bei hohen Machzahlen. In diesen Fällen benötigt die ET in klassischer Formulierung viele Variable zur Zustandsbeschreibung. Zur Vermeidung der Einführung vieler Variablen, was dann natürlich auf große hyperbolische Systeme führt, haben wir das MEP einer Revision unterzogen. Zur Berücksichtigung der freien Flugphasen, gemäß ihrer Bedeutung, unterdrücken wir die Maximierung der Entropie in Zeitintervallen der Dauer $\tau _{ME}.$ Die bekannten Systeme der ET folgen dann im Grenzfall $\tau _{ME}\rightarrow 0.$

 

$$\begin{array} {l} \oint\limits_{\partial \Omega }\left( \rho... ...o \left( \frac 52T+\frac 12v^2\right) vdt\right) =0.\end{array}$$ (1)

Hier ist $\Omega$ ein konvexer Bereich in Raum/Zeit mit stückweise glattem, positiv orientiertem Rand $\partial \Omega$.

Projektliteratur:

1.   W. DREYER, Maximization of the entropy in non-equilibrium,
   J. Phys. A.: Math. Gen., 20 (1987).
2.   W. DREYER, M. KUNIK, The maximum entropy principle revisited,
   WIAS-Preprint No. 367 (1997).
3.   , Reflections of Eulerian shockwaves at moving adiabatic boundaries, WIAS-Preprint No. 383 (1997).