pdelib - Algorithmen und Softwarekomponenten für die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

 Bearbeiter: J. Fuhrmann , H. Langmach , Th. Koprucki , I. Schmelzer  

Kooperation: B. Erdmann, R. Roitzsch (ZIB Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Im Rahmen dieses Projektes wird pdelib, ein System von Softwarekomponenten für die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen, entwickelt und gepflegt. Gleichzeitig wird in enger Verzahnung mit dem Projekt ,,Fluid- und Stofftransport in porösen Medien`` an Eigenentwicklungen numerischer Verfahren mit den Schwerpunkten algebraische Mehrgitterverfahren, Gittergenerierung und adaptive Verfahren gearbeitet.

Softwareentwicklung.

Besonderes Gewicht wird auf Portabilität, Modularität und klare, stabile Definitionen von Schnittstellen gelegt. Damit soll eine maximale Wiederverwendbarkeit der einzelnen Teilkomponenten erreicht werden.

Der strategischen Zielrichtung des Instituts entsprechend wird auf die Entwicklung einer graphischen Benutzeroberfläche verzichtet, statt dessen kann der Code mit Hilfe von Eingabeskripten gesteuert werden. Seine Modularität ermöglicht prinzipiell die Erstellung von graphischen Benutzeroberflächen im Rahmen von industriefinanzierten Auftragsprojekten.

Im Berichtszeitraum wurde das Konzept ausführlich im Institut vorgestellt. Eine Reihe von Mitarbeitern arbeitet bereits aktiv mit dem Code.

Eine abwärtskompatible Reimplementation der Gitterschnittstelle ermöglicht jetzt eine wesentlich einfachere Online-Kopplung der Toolbox an Gittergeneratoren und adaptive Gitterverwaltungskerne wie KASKADE sowie eine einfache Möglichkeit, ohne großen Aufwand algorithmische Tests auf Tensorproduktnetzen vorzunehmen.

Auf der Grundlage von Komponenten aus pdelib wurden u. a. folgende Projekte im Institut bearbeitet: Transportprozesse in porösen Medien (siehe S. ), Inverse Probleme der Grundwassermodellierung [2], Wärmebehandlung von Stahl (siehe S. und [3]), Widerstandsschweißen, Kristallzüchtung, Data Mining (siehe S. und S. ), Numerische Lösung des Schrödinger-Poisson-Systems (siehe S. ), Approximation und Optimierung von Platten [1].

Gittergenerierung.

Die Beschreibung komplizierter Geometrien und Materialverteilungen in zwei und drei Raumdimensionen sowie die Generierung von Gittern, welche diese Geometrien widerspiegeln, ist ein zentraler Punkt bei der Entwicklung anwendungsorientierter Verfahren für partielle Differentialgleichungen. Hierzu wird von I. Schmelzer eine neue Version des Gittergenerators IBG in C++ entwickelt. Durch eine neue Geometriebeschreibungs-Schnittstelle COG wurde die Erstellung von Geometriebeschreibungen erleichtert und verbessert.

Gleichzeitig wurde der auf einem Octree-Algorithmus beruhende Gittergenerierungs-Algorithmus komplett neu geschrieben. Die neue Version des Gittergenerators IBG 2.0 kann bereits getestet werden. Es ist jedoch auch die Verwendung der alten Version des Gittergenerators IBG 1.3 in Verbindung mit der neuen Geometriebeschreibung möglich.

Algebraische Mehrgitterverfahren.

Die schnelle Auflösung großer, schwachbesetzter linearer Gleichungssysteme ist Kernbestandteil einer großen Zahl numerischer Verfahren. In dieser Verfahrensklasse sind Mehrgitterverfahren aufgrund ihrer potentiellen optimalen Komplexität besonders interessant.

Ziel der Arbeit in diesem Teilprojekt ist die Weiterentwicklung von algebraischen Mehrgittervorkonditionierern auf unstrukturierten Netzen. Im Berichtszeitraum wurden Arbeiten zum Vergleich des bisher verfolgten modularen knotenbasierten AMG-Ansatzes mit den zellbasierten Verfahren, welche sich sehr effizient implementieren lassen, ausgeführt [4]. Dabei stellte sich heraus, daß weiterer Forschungsbedarf besteht, um ein tieferes Verständnis für diese Verfahrensklasse zu gewinnen.

Projektliteratur:

1.  V. ARNAUTU, H. LANGMACH, J. SPREKELS, D. TIBA, On the approximation and the optimization of plates, WIAS-Preprint No. 357 (1997).
2.  G. BRUCKNER, S. HANDROCK-MEYER, H. LANGMACH, An inverse problem from the 2d-groundwater modelling, WIAS-Preprint No. 343 (1997), eingereicht in: Inverse Problems.
3.  J. FUHRMANN, D. HÖMBERG, Numerical simulation of surface heat treatments, WIAS-Preprint No. 375 (1997), eingereicht in: Internat. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow.
4.  J. FUHRMANN, Algebraic multigrid methods - a comparison, erscheint in: Proceedings of the IMACS Symposiun on Iterative Methods, Jackson Hole WY.