Über stationäre Schrödinger-Poisson-Systeme mit Kohn-Sham-Potential

 Bearbeiter: H.-Chr. Kaiser , J. Rehberg  

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die Arbeit des Jahres 1997 am Kohn-Sham-System setzte die des Jahres 1996 konsequent fort. Insbesondere ging es darum, für das räumlich eindimensionale System, das Quantum-Wells - den in der Physik und Technik häufigsten Fall von dimensionsreduzierten Halbleiterstrukturen - beschreibt, Existenz- und Regularitätsaussagen herzuleiten (vgl. WIAS-Preprint No. 368, 1997), die denen der zwei- und dreidimensionalen Probleme mit Austausch-Korrelations-Potential entsprechen (vgl. WIAS-Preprint No. 339, 1997). Die Schwierigkeit lag hierbei darin, daß der Austausch-Korrelationsterm im räumlich eindimensionalen Fall nicht mehr durch eine stetige Abbildung von L¹ nach L² dargestellt werden kann, sondern die durch ihn definierten Potentiale nur noch als in L¹ liegend angenommen werden können. Indessen erwies es sich, daß die L¹-Potentiale im Sinne der Störungstheorie von Formen noch behandelt werden können, und daß die Birman-Solomyak-Techniken, welche Abschätzungen der Lösungen in Termen der Daten des Problems ermöglichen, noch anwendbar sind.

Ein zweiter Arbeitsschwerpunkt des Jahres 1997 lag in der Konzeption von Modellen, die auf eine Einbettung der quantenmechanischen Beschreibung der Nanostruktur in eine makroskopische Beschreibung der Umgebung hinzielen. Es handelt sich hierbei um ein äußerst kompliziertes Problem, das in den letzten Jahren in den Blickwinkel sowohl der Mathematik als auch Physik geriet und von einer befriedigenden Lösung noch sehr weit entfernt zu sein scheint (vgl. [2]). Wir streben bezüglich dieses Problems keine universelle Lösung im Sinne von First Principles an (vgl. dazu z. B. [4] und die dort zitierten Arbeiten in diese Richtung), sondern es soll ein phänomenologisches Modell erstellt werden, welches eine selbstkonsistente Kopplung des bewährten van Roosbroeck-Systems zur elektronischen Modellierung von Halbleitermikrostrukturen mit dem Kohn-Sham-System zur Beschreibung von Nanostrukturen darin, wie etwa eingebetteten Quantum-Wells oder -Wires, realisiert (vgl. [3]). Ausgangspunkt unserer Überlegungen war die Beobachtung (vgl. WIAS-Preprint No. 339, 1997), daß im Fall des bisher betrachteten Kohn-Sham-Systems mit selbstadjungiertem Hamiltonian nicht nur die quantenmechanische Stromdichte über der gesamten Nanostruktur verschwindet, sondern auf dem Rand der Struktur selbst die Normalenableitung der Teilchendichte. Im allgemeinen wird dadurch die Stromkontinuität verletzt, und die numerische Simulation mit so einfach aneinandergefügten van Roosbroeck- und Kohn-Sham-Systemen scheitert daran (vgl. hierzu z. B. die entsprechenden Versuche von P. Ellrodt [1]). Die Stromkontinuität wurde nun bei uns an die Spitze der Überlegungen gestellt: das Zusammenfügen der beiden Modelle sollte so geschehen, daß am Interface der verschieden modellierten Halbleitergebiete sowohl die mikroskopischen und makroskopischen Teilchendichten als auch die Normalkomponenten der entsprechenden Ströme stetig ineinander übergehen.

Ausgangspunkt war, zunächst im Fall eines nicht-selbstadjungierten Hamiltonian mit ausschließlich einfachen (normierten) Eigenelementen $\psi_l$,eine korrespondierende Definition von Teilchendichten und -strömen in der Nanostruktur durch gewichtete Summen:

$$u\;=\; \sum_l N_l\;\big\vert\psi_l\big\vert^2 \qquad j\;=\; \sum_l N_l\; \Im\big[\psi_l^*\nabla\psi_l\big] .$$

Die N_l sind dabei wie im selbstadjungierten Fall reelle Besetzungsfaktoren, deren genaue Form noch geklärt werden muß. Versieht man einen Kohn-Sham-Hamiltonian mit der unsymmetrischen (!) Randbedingung

 

$$\frac{\hbar}{m} \frac{\partial \psi}{\partial \nu} = - \,e \ i \,\mu \psi \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}$$ (1)

auf dem Interface zwischen der Nanostruktur und dem übrigen durch das van Roosbroeck-System beschriebene elektronische Bauelement, so folgt die Stromkontinuität, wenn man die Stetigkeit der Teilchendichten gewährleistet. Dabei ist $\psi$ eine beliebige Eigenfunktion, m die effektive Masse, $\mu$ die Beweglichkeit, $\Phi$ das makroskopische Quasi-Fermi-Potential und $e=\pm 1$ die Ladung der betrachteten Ladungsträger sowie $\nu$ der äußere Normaleneinheitsvektor auf dem Rand der Nanostruktur. Da man die Stetigkeit der Teilchendichten am Interface zwischen dem Kohn-Sham- und dem van Roosbroeck-System durch eine geeignete Randbedingung an die Stromkontinuitätsgleichung im van Roosbroeck-System sichern kann, war die vorstehende Beobachtung Anlaß, den nicht-selbstadjungierten Hamiltonian mit der Randbedingung (*) genauer zu betrachten. Unter sinnvollen Annahmen über das makroskopische Quasi-Fermi-Potential $\Phi$ ist $\nu \cdot \big( \mu \nabla \Phi \big)$eine auf dem Rand der Nanostruktur konzentrierte Distribution und erlaubt, die formale Randbedingung (*) als quadratische Form auf L² zu definieren. Diese (unsymmetrische) Randform ist infinitesimal klein gegen die Form des reinen Differentialoperators im Hamiltonian. Mit Hilfe der Störungstheorie von Formen kann gezeigt werden, daß es genau einen Hamiltonoperator H mit der Randbedingung (*) auf L² gibt. Dieser ist zwar unsymmetrisch, erzeugt aber auf L² eine analytische Halbgruppe. Darüber hinaus hat H eine kompakte Resolvente, die der gleichen Summierbarkeitsklasse angehört wie die Resolvente des Laplace-Operators mit homogenen Neumannschen Randbedingungen. H besitzt ein in H¹ vollständiges System von Wurzelvektoren und hat im wesentlichen dieselbe Spektral-Asymptotik wie der Operator ohne Randanteil. Obwohl die von uns betrachteten nicht-selbstadjungierten Hamiltonoperatoren im Kohn-Sham-System generisch nur einfache Eigenelemente besitzen, ist eine allgemeingültige Definition der Teilchen- und Stromdichte noch erforderlich, genauso wie die Klärung der Besetzungsstatistik. Weiterhin werden wir uns mit der Wechselwirkung des van Roosbroeck-Systems mit dem Kohn-Sham-System in Blick auf a priori-Abschätzungen, Existenz und Einzigkeit für das selbstkonsistent gekoppelte Gesamtsystem befassen.

Projektliteratur:

1.  P. ELLRODT, Simulation of InAlAs/InGaAs dual gate HFET using a 2D and a Q2D model, in: Ninth III-V Semiconductor Device Simulation Workshop, Eindhoven University of Technology, May 9 - 10, 1996, Eindhoven University of Technology, May 1996.
2.  I. M. GAMBA, C. S. MORAWETZ, A viscous approximation for a 2-d steady semiconductor or transonic gas dynamic flow: Existence theorem for potential flow, Comm. Pure Appl. Math., XLIX (1996), pp. 999-1049.
3.  H.-CHR. KAISER, J. REHBERG, Matching the phenomenological and the quantum mechanical description of semiconductor devices.
   Workshop ,,Phase Transitions: Microscopic and Mesoscopic Theory``, WIAS Berlin, 2-7 June , 1997.
4.  R. OLKIEWICZ, Some mathematical problems related to classical-quantum interaction, Rev. Math. Phys., 9 (1997), pp. 719-747.