Tieftemperaturphasen in Modellen mit langreichweitiger Wechselwirkung

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Projektbeschreibungen

Tieftemperaturphasen in Modellen mit langreichweitiger Wechselwirkung

Bearbeiter: A. Bovier , C. Külske

Kooperation: M. Zahradník (Karls-Universität Prag, Tschechische Republik)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende Stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Eine Einführung in die allgemeine Thematik dieses Projektes wurde im Jahresforschungsbericht 1997 gegeben.

In diesem Jahr wurden erhebliche Fortschritte in Richtung auf die Herleitung von Methoden der Clusterentwicklung und der Pirogov-Sinai-Theorie für Modelle mit schwacher langreichweitiger Wechselwirkung erzielt. Eine Arbeit, in der diese Resultate dargestellt werden, steht kurz vor der Fertigstellung ([1]). Damit werden dann die nötigen Techniken zur Untersuchung des Random-Field-Kac-Modells bereitstehen. In diesem Zusammenhang wurde als Nebenresultat eine sehr einfache allgemeine Methode zur Kontrolle partieller Entwicklungen von Polymer-Modellen veröffentlicht ([2]), die in der Folge bei der iterativen Behandlung ungeordneter Modelle sehr hilfreich sein wird.

Bei der Untersuchung von Modellen langreichweitiger Wechselwirkungen ist es von Bedeutung, eine Blockapproximation durch ein Modell auf einer mesoskopischen Skala zu finden. Am Beispiel des Kac-Modells im Zufalls-Magnetfeld wurde gezeigt, wie dieses mesoskopische Modell durch ein zufälliges Gibbs-Maß mit explizit konstruierbarem zufälligen Potential beschrieben werden kann.

Aus der Theorie der zufälligen Gibbs-Maße wurde ferner folgendes allgemeine Problem untersucht, für das ein nichttriviales Beispiel durch das Ising-Modell im Zufallsmagnetfeld geliefert wird. Es ist motiviert durch konkrete Anwendungen in der physikalischen Literatur ([3], [4]) und ebenso von innermathematischem Interesse.

Man betrachte ungeordnete Gitterspinmodelle mit Gibbs-Maßen $\mu_{\Lambda}[\eta](d\sigma)$ im endlichen Volumen. Hier bezeichnet $\sigma$ die Gitterspin-Variable und $\eta$ eine Gitter-Zufallsvariable mit Produkt-Verteilung. $\eta$ bezeichnet die eingefrorene Unordnung des Modells. Können nun die gemeinsamen Maße $\lim_{\Lambda\uparrow {Z\kern-.5em{Z}} ^d}P(d\eta)\mu_{\Lambda}[\eta](d\sigma)$ als Gibbs-Maße auf dem Produkt von Spin-Raum und Raum der Unordnung aufgefasst werden? Falls nicht, gelingt dies, wenn man den Begriff des Gibbs-Maßes verallgemeinert? Diese Fragestellung hat eine gewisse formale Analogie zur Untersuchung der Gibbs-Eigenschaft bei den Bildmaßen von Niedrig-Temperatur-Spin-Modellen unter Renormierungsgruppen-Abbildungen, zu dem bereits eine reichhaltige Literatur existiert.

In [5] wurden nun allgemeine Kriterien für die Gibbs-Eigenschaft bewiesen, die auf der negativen Seite zeigen, dass in einer Vielzahl von Fällen die betrachteten Maße nicht-Gibbs'sch sind. Darüber hinaus ist häufig sogar die schwächere fast-sichere Gibbs-Eigenschaft verletzt. Auf der positiven Seite beweisen wir jedoch ([6]), dass immer ein Wechselwirkungs-Potential (als Funktion von Spins und Unordnungsvariablen) existiert, das absolut auf einer Menge vom Maß eins (hinsichtlich des betrachteten gemeinsamen Maßes) konvergiert (,,schwache Gibbs-Eigenschaft``). Eine schöne Illustration für dies liefert das Ising-Modell im Zufalls-Magnetfeld. Für dieses zeigen wir das Vorliegen [Nicht-Vorliegen] der fast-sicheren Gibbs-Eigenschaft in der Ein- [Mehr-] Phasenregion des Phasendiagramms.

Außerdem wurden Kriterien bewiesen für die Konvergenz von Vakuum-Potentialen, Kriterien für den Abfall von Potentialen und weitere Anwendung auf Modelle mit zufälligen Kopplungen (vom ferromagnetischen oder Spin-Glas-Typ) diskutiert.

Projektliteratur:

A. BOVIER, M. ZAHRADN´font size=-1>I K, in Vorbereitung.
$\dito$ , A simple inductive approach to the problem of convergence of cluster expansions of polymer models, WIAS-Preprint No. 536, 1999.
R. KÜHN, Critical behavior of the randomly spin diluted 2D Ising model: A grand ensemble approach, Phys. Rev. Lett., 73 (1994), pp. 2268-2271.
A. C. D. VAN ENTER, C. KÜLSKE, C. MAES, Comment on [3], eingereicht.
C. KÜLSKE, (Non-) Gibbsianness and phase transitions in random lattice spin models, Markov Proc. Rel. Fields, 5 (1999) pp. 357-383.
$\dito$ , Weakly Gibbsian representations for joint measures of quenched lattice spin models, WIAS-Preprint No. 411, 1999, erscheint in: Probab. Theory Related Fields.