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Kooperation: D. A. Dawson (The Fields Institute, Toronto, Kanada), J.-F. Delmas (ENCPC-CERMICS, Marne La Vallée, Frankreich), A. M. Etheridge (University of Oxford, Großbritannien), A. Klenke (Universit"at Erlangen-N"urnberg), C. Mueller (University of Rochester, USA), L. Mytnik (Technion Haifa, Israel), E. A. Perkins (University of British Columbia, Vancouver, Kanada), V. A. Vatutin (Steklov Mathematical Institute, Moskau, Russland), J. Xiong (University of Tennessee, Knoxville, USA)
Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende Stochastische Systeme von hoher Komplexität``
Beschreibung der Forschungsarbeit: Katalytische Verzweigungsprozesse beschreiben die Evolution von zweierlei Arten von Materialien (oder Populationen), Katalysator und Reaktant genannt. Der Katalysator entwickelt sich autonom und beeinflusst den Reaktanten. Die ,,Individuen`` beider Substanzen sind Ver"anderungen durch Bewegung, Wachstum (Teilung) und ,,Tod`` unterworfen. Einen "Uberblick "uber dieses stark in Entwicklung befindliche mathematische Gebiet haben wir k"urzlich in [2] gegeben.
Eins der zentralen Modelle hierzu ist ein stetiger Super-Brown'scher
Reaktant mit einem Super-Brown'schen
Katalysator
Dieses Modell ist schon recht gut untersucht (siehe
z. B. [5]), das Bild wurde aber in diesem Jahr
erg"anzt ([6]):
Wir haben nachgewiesen,
dass der dreidimensionale Reaktant nach unendlicher Zeit eine abzählbar
lokal unendliche Biodiversität
(genetische Abundanz) besitzt, im Unterschied zur
lokal endlichen Biodiversit"at der klassischen Gleichgewichtszust"ande
der Super-Brown'schen Bewegung. Diese unendliche Biodiversit"at ist
letztlich darin begr"undet, dass der dreidimensionale Reaktant sich mit
unendlicher Geschwindigkeit im Raum ausbreitet. Diese "uberraschende Eigenschaft wird auch benutzt, um nachzuweisen, dass jede
(nicht verschwindende) endliche Reaktantenmasse zu jeder endlichen Zeit noch
,,Nachkommen`` hat, auch im Unterschied zur klassischen Super-Brown'schen
Bewegung. Allerdings sterben zwei- und dreidimensionale endliche
Reaktantenmassen schließlich nach unendlicher Zeit aus, im Kontrast zur
persistenten Konvergenz im Eindimensionalen.
Um das Verst"andnis f"ur den Einfluss variierender Medien auf Super-Brown'sche Bewegungen zu vertiefen, haben wir das Aussterbeverhalten in Abh"angigkeit einer raumabh"angigen zus"atzlichen Massenproduktion untersucht ([4]): Es gibt eine kritische Schwellenfunktion, unterhalb der in endlicher Zeit ein Aussterben bzw. ein lokales Aussterben stattfindet. Dabei tritt in Dimensionen gr"oßer als sechs ein Phasen"ubergang auf.
Unserer langfristigen Konzeption folgend wurden die Bem"uhungen
verst"arkt, zu wechselseitigen katalysierenden
Verzweigungsstrukturen
"uberzugehen. Hier wirkt
umgekehrt auch der Reaktant auf den Katalysator zur"uck
(,,Symmetrisierung``). Dadurch wird die Grund-Unabh"angigkeits-Annahme der
Verzweigungstheorie vollst"andig außer Kraft gesetzt, wodurch
insbesondere auch der bisher so wertvolle Zusammenhang zu
Reaktions-Diffusions-Gleichungen verloren geht. Deshalb sind vollst"andig
neuartige Methoden gefragt. Nach den Pionierarbeiten von Dawson, Mytnik und
Perkins ([3], [9]), die ein solches Modell
im d-dimensionalen Gitter und auf der reellen Achse begr"undeten und untersuchten, wurden vereint große
Anstrengungen unternommen
([1]), auch im kontroversen
Fall des
die nichttriviale Existenz einer
wechselseitig katalytischen Super-Brown'schen Bewegung nachzuweisen. Es ist zu
erwarten, dass diese Bem"uhungen im folgenden Jahr erfolgreich sein werden.
Ein nat"urliches Anliegen besteht darin, mehr als nur zwei Substanzen zu
betrachten. Ein zyklischer
Ansatz ist dabei naheliegend:
viele Typen von Materialien sind zyklisch angeordnet,
und die Verzweigung eines jeden Typs wird durch die lokale
Massenkonzentration des benachbarten Typs gesteuert. F"ur
ist bereits die Grundfrage der nichttrivialen Existenz eine
Herausforderung, da ein zentrales technisches Mittel der wechselseitigen
katalysierenden Verzweigungsprozesse, n"amlich Mytniks
Selbstdualität
([9]), hier nicht mehr zur
Verf"ugung steht. In [7] ist es uns
gelungen, hierzu einen Ausweg zu finden: In Verallgemeinerung von Methoden von
Stroock und Varadhan ([10]), entwickelt f"ur
endlich-dimensionale Diffusionen, kann schließlich "uber ein
Optimierungsverfahren eine streng Markov'sche L"osung des
unendlich-dimensionalen Martingalproblems konstruiert werden. Die so erhaltene
zyklisch katalysierende Super-Brown'sche Bewegung
in
hat ein interessantes Langzeitverhalten: Wenn man mit endlichen
Massen startet, werden benachbarte Typen global segregiert
(Nichtkoexistenz benachbarter Typen). Andererseits
ist es in Abh"angigkeit von der konkreten Wahl der endlichen
Anfangszust"ande m"oglich, dass entweder alle Typen jede endliche
Zeit "uberleben oder dass ein gegebener Typ ab einer gegebenen Zeit mit
hoher Wahrscheinlichkeit ausgestorben ist. Dies verallgemeinert Resultate und
verfeinert Methoden von Dawson, Mueller und Perkins
([3], [8]).
Projektliteratur:
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