Katalytische Verzweigungsstrukturen

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Katalytische Verzweigungsstrukturen

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: D. A. Dawson (The Fields Institute, Toronto, Kanada), J.-F. Delmas (ENCPC-CERMICS, Marne La Vallée, Frankreich), A. M. Etheridge (University of Oxford, Großbritannien), A. Klenke (Universit"at Erlangen-N"urnberg), C. Mueller (University of Rochester, USA), L. Mytnik (Technion Haifa, Israel), E. A. Perkins (University of British Columbia, Vancouver, Kanada), V. A. Vatutin (Steklov Mathematical Institute, Moskau, Russland), J. Xiong (University of Tennessee, Knoxville, USA)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende Stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit: Katalytische Verzweigungsprozesse beschreiben die Evolution von zweierlei Arten von Materialien (oder Populationen), Katalysator und Reaktant genannt. Der Katalysator entwickelt sich autonom und beeinflusst den Reaktanten. Die ,,Individuen`` beider Substanzen sind Ver"anderungen durch Bewegung, Wachstum (Teilung) und ,,Tod`` unterworfen. Einen "Uberblick "uber dieses stark in Entwicklung befindliche mathematische Gebiet haben wir k"urzlich in [2] gegeben.

Eins der zentralen Modelle hierzu ist ein stetiger Super-Brown'scher Reaktant $\,X^{\varrho}\,$ mit einem Super-Brown'schen Katalysator $\varrho.$ Dieses Modell ist schon recht gut untersucht (siehe z. B. [5]), das Bild wurde aber in diesem Jahr erg"anzt ([6]): Wir haben nachgewiesen, dass der dreidimensionale Reaktant nach unendlicher Zeit eine abzählbar lokal unendliche Biodiversität (genetische Abundanz) besitzt, im Unterschied zur lokal endlichen Biodiversit"at der klassischen Gleichgewichtszust"ande der Super-Brown'schen Bewegung. Diese unendliche Biodiversit"at ist letztlich darin begr"undet, dass der dreidimensionale Reaktant sich mit unendlicher Geschwindigkeit im Raum ausbreitet. Diese "uberraschende Eigenschaft wird auch benutzt, um nachzuweisen, dass jede (nicht verschwindende) endliche Reaktantenmasse zu jeder endlichen Zeit noch ,,Nachkommen`` hat, auch im Unterschied zur klassischen Super-Brown'schen Bewegung. Allerdings sterben zwei- und dreidimensionale endliche Reaktantenmassen schließlich nach unendlicher Zeit aus, im Kontrast zur persistenten Konvergenz im Eindimensionalen.

Um das Verst"andnis f"ur den Einfluss variierender Medien auf Super-Brown'sche Bewegungen zu vertiefen, haben wir das Aussterbeverhalten in Abh"angigkeit einer raumabh"angigen zus"atzlichen Massenproduktion untersucht ([4]): Es gibt eine kritische Schwellenfunktion, unterhalb der in endlicher Zeit ein Aussterben bzw. ein lokales Aussterben stattfindet. Dabei tritt in Dimensionen gr"oßer als sechs ein Phasen"ubergang auf.

Unserer langfristigen Konzeption folgend wurden die Bem"uhungen verst"arkt, zu wechselseitigen katalysierenden Verzweigungsstrukturen "uberzugehen. Hier wirkt umgekehrt auch der Reaktant auf den Katalysator zur"uck (,,Symmetrisierung``). Dadurch wird die Grund-Unabh"angigkeits-Annahme der Verzweigungstheorie vollst"andig außer Kraft gesetzt, wodurch insbesondere auch der bisher so wertvolle Zusammenhang zu Reaktions-Diffusions-Gleichungen verloren geht. Deshalb sind vollst"andig neuartige Methoden gefragt. Nach den Pionierarbeiten von Dawson, Mytnik und Perkins ([3], [9]), die ein solches Modell im d-dimensionalen Gitter und auf der reellen Achse $\,\mathsf{R}$ begr"undeten und untersuchten, wurden vereint große Anstrengungen unternommen ([1]), auch im kontroversen Fall des $\,\mathsf{R}^{2}$ die nichttriviale Existenz einer wechselseitig katalytischen Super-Brown'schen Bewegung nachzuweisen. Es ist zu erwarten, dass diese Bem"uhungen im folgenden Jahr erfolgreich sein werden.

Ein nat"urliches Anliegen besteht darin, mehr als nur zwei Substanzen zu betrachten. Ein zyklischer Ansatz ist dabei naheliegend: $\,K\geq2$ viele Typen von Materialien sind zyklisch angeordnet, und die Verzweigung eines jeden Typs wird durch die lokale Massenkonzentration des benachbarten Typs gesteuert. F"ur $\,K\geq 3$ ist bereits die Grundfrage der nichttrivialen Existenz eine Herausforderung, da ein zentrales technisches Mittel der wechselseitigen katalysierenden Verzweigungsprozesse, n"amlich Mytniks Selbstdualität ([9]), hier nicht mehr zur Verf"ugung steht. In [7] ist es uns gelungen, hierzu einen Ausweg zu finden: In Verallgemeinerung von Methoden von Stroock und Varadhan ([10]), entwickelt f"ur endlich-dimensionale Diffusionen, kann schließlich "uber ein Optimierungsverfahren eine streng Markov'sche L"osung des unendlich-dimensionalen Martingalproblems konstruiert werden. Die so erhaltene zyklisch katalysierende Super-Brown'sche Bewegung in $\,\mathsf{R}$ hat ein interessantes Langzeitverhalten: Wenn man mit endlichen Massen startet, werden benachbarte Typen global segregiert (Nichtkoexistenz benachbarter Typen). Andererseits ist es in Abh"angigkeit von der konkreten Wahl der endlichen Anfangszust"ande m"oglich, dass entweder alle Typen jede endliche Zeit "uberleben oder dass ein gegebener Typ ab einer gegebenen Zeit mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgestorben ist. Dies verallgemeinert Resultate und verfeinert Methoden von Dawson, Mueller und Perkins ([3], [8]).

Projektliteratur:

D. A. DAWSON, A. M. ETHERIDGE, K. FLEISCHMANN, L. MYTNIK, E. A. PERKINS, J. XIONG, Mutually catalytic super-Brownian motion in ${{\sf {R}}}^{2}$ , in Vorbereitung.
D. A. DAWSON, K. FLEISCHMANN, Catalytic and mutually catalytic branching, WIAS-Preprint No. 510, 1999.
D. A. DAWSON, E. A. PERKINS, Long-time behavior and coexistence in a mutually catalytic branching model, Ann. Probab., 26 (1998), No. 3, pp. 1088-1138.
J. ENGLÄNDER, K. FLEISCHMANN, Extinction properties of super-Brownian motions with additional spatially dependent mass production, WIAS-Preprint No. 486, 1999, erscheint in: Stochastic Process Appl., 2000.
K. FLEISCHMANN, A. KLENKE, Smooth density field of catalytic super-Brownian motion, Ann. Appl. Probab., 9 (1999), No. 2, pp. 298-318.
$\dito$ , Biodiversity of catalytic super-Brownian motion, WIAS-Preprint No. 501, 1999, erscheint in: Ann. Appl. Probab., 2000.
K. FLEISCHMANN, J. XIONG, A cyclically catalytic super-Brownian motion, WIAS-Preprint No. 528, 1999.
C. MUELLER, E. PERKINS, Extinction for two parabolic stochastic PDE's on the lattice, Preprint, Univ. Rochester, 1999.
L. MYTNIK, Uniqueness for a mutually catalytic branching model, Probab. Theory Related Fields, 112 (1998), No. 2, pp. 245-253.
D. W. STROOCK, S. R. S. VARADHAN, Multidimensional diffusion processes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979.