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Effektive Steuerung von stochastischen Partikelverfahren für Strömungen in verdünnten Gasen

Bearbeiter: W. Wagner , I. Matheis

Kooperation: S. Caprino (Università di Roma ,,Tor Vergata``, Rom, Italien), A. Garcia (San Jose State University, San Jose, USA), M. Pulvirenti (Università di Roma ,,La Sapienza``, Rom, Italien), S. Rjasanow (Universität des Saarlandes, Saarbrücken)

Förderung: Volkswagenstiftung (RiP-Programm Oberwolfach)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In wichtigen Anwendungsbereichen wie Raumfahrt oder Vakuumtechnologie erfolgt die mathematische Beschreibung der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse mittels hochdimensionaler und in der Regel nichtlinearer Integrodifferentialgleichungen. Ein typisches Beispiel einer solchen Gleichung, die Boltzmann-Gleichung aus der kinetischen Gastheorie, besitzt die Form

$\begin{eqnarray} \lefteqn{ \frac{\partial}{\partial t}\, f(t,x,v) + \mbox{\bf{... ... \Big[f(t,x,v^*)\,f(t,x,w^*)-f(t,x,v)\,f(t,x,w)\Big]\,, \nonumber \end{eqnarray}$

mit

$\begin{eqnarray} v^*=v+e\,\mbox{\bf{(}}e,w-v\mbox{\bf{)}}\,, \quad w^*=w+e\,\mbox{\bf{(}}e,v-w\mbox{\bf{)}}\,.\end{eqnarray}$

Hier beschreibt die Funktion f(t,x,v) die Konzentration von Teilchen mit der Geschwindigkeit v am Ort x zur Zeit $t\,.$ Die Gleichung (1) besitzt eine quadratische Nichtlinearität, die sich aus der paarweisen elementaren Wechselwirkung ergibt. Diese besteht darin, dass bei der ,,Kollision`` zweier Teilchen sich ihre Geschwindigkeiten entsprechend (2) ändern, wobei ${\cal S}^2$ die Einheitssphäre ist und B der Kollisionskern genannt wird.

Aufgrund der hohen Dimension (f ist eine Funktion von sieben Veränderlichen) spielen stochastische Teilchensysteme nicht nur bei der theoretischen Fundierung, sondern insbesondere bei der numerischen Behandlung der Gleichung (1) eine entscheidende Rolle. Stochastische Partikelverfahren beruhen auf der Simulation eines geeigneten großen $(n\sim 10^6-10^7)$ Teilchensystems

$\begin{eqnarray} \Big(x_i(t),v_i(t)\Big)\,, \quad i=1,\ldots,n\,,\quad t\ge 0\,,\nonumber\end{eqnarray}$

mit dessen Hilfe das Verhalten des realen Gases approximiert wird. Hier bezeichnen $x_i(t)\!\in\! D\!\subset\!{\cal R}^3$ und $v_i(t)\!\in\!{\cal R}^3$ jeweils die Position und die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens zur Zeit $t\,.$ Bei der numerischen Behandlung kinetischer Gleichungen mittels stochastischer Partikelverfahren treten Fluktuationen auf, d. h. die zu berechnenden Werte werden durch zufällige Schwankungen überlagert. Deshalb besteht in vielen Anwendungsbereichen, wie z. B. bei der Berechnung makroskopischer Größen hinter einem umströmten Körper oder bei Einströmvorgängen in ein Vakuum, ein wichtiges Problem in der Konstruktion von Verfahren mit reduzierten Fluktuationen.

In Arbeiten der vergangenen Jahre wurde ein auf einem neuartigen Wechselwirkungsmechanismus basierender Zugang zu dem oben skizzierten Problem der Varianzreduktion entwickelt. In [1] wurden diese Ergebnisse erfolgreich auf eine räumlich zweidimensionale Testkonfiguration mit starken Dichtegradienten angewendet. Des Weiteren konnte ein neues Verfahren zur Behandlung von Randbedingungen entwickelt werden, welches geeignete Steuerungsmechanismen für den Teilchenstrom beinhaltet. Bei der Bestimmung verschiedener Funktionale wurde eine Effektivitätssteigerung von mehreren Größenordnungen erzielt.

Neben der zu einem entsprechenden numerischen Fehler führenden endlichen Anzahl von Simulationsteilchen beinhalten stochastische Verfahren zur Behandlung der Gleichung (1) weitere Approximationsparameter. Ein solcher Parameter ist die Zeitschrittweite, die dazu benutzt wird, die Prozesse der freien Bewegung und der Kollisionen zu entkoppeln. In einer weiteren Arbeit ([2]) wurden Untersuchungen zur Konvergenzordnung bezüglich dieses Parameters angestellt. Für verschiedene einfache Strömungen konnte Konvergenz zweiter Ordnung bezüglich der Zeitschrittweite bei der Bestimmung von unterschiedlichen Transportkoeffizienten nachgewiesen werden. Diese Untersuchungen wurden sowohl für transiente als auch für stationäre Strömungen durchgeführt.

Projektliteratur:

S. RJASANOW, W. WAGNER, Simulation of rare events by the stochastic weighted particle method for the Boltzmann equation, WIAS-Preprint No. 502, 1999.
A.L. GARCIA, W. WAGNER, Time step truncation error in direct simulation Monte Carlo, WIAS-Preprint No. 522, 1999.