Bearbeiter: M. A. Efendiev
(FG 2),
M. Wolfrum
(FG 2),
J. Fuhrmann
(FG 3)
Kooperation:
S. Zelik (Russische Akademie der Wissenschaften, Moskau),
A. Miranville (Universität Poitiers, Frankreich)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Systeme von Reaktions-Diffusionsgleichungen der Form
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treten bei der Beschreibung von vielen
chemischen und physikalischen Prozessen auf (siehe z. B. [2]). Für das theoretische
Verständnis und die numerische Simulation solcher Prozesse spielt die
Tatsache eine entscheidende Rolle, dass sich das Langzeitverhalten oft
durch eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden beschreiben lässt, da
alle Trajektorien des Systems gegen einen endlichdimensionalen
Attraktor konvergieren (siehe z. B. [2]). Untersuchungen über die Existenz sowie
qualitative und quantitative Eigenschaften solcher Attraktoren liefern
daher grundlegende Informationen für das Verständnis der gesamten
Dynamik des Systems (siehe [3]). Dort konnten auch für
ein unbeschränktes Gebiet Abschätzungen der Dimension des Attraktors
gefunden werden. Von besonderer Bedeutung sind im Hinblick auf
numerische Rechnungen auch exponentielle Attraktoren und
Inertialmannigfaltigkeiten, die jedoch nur unter restriktiveren
Bedingungen gefunden werden können (siehe [3]).
In [5] konnte mit Hilfe von verallgemeinerten
Monotonie-Prinzipien und Nullstelleneigenschaften ein Kriterium für
die Existenz von heteroklinen Orbits
in Attraktoren von skalaren
Reaktions-Diffusionsgleichungen auf eindimensionalen Gebieten bewiesen
werden.
Projektliteratur:
- M. A. EFENDIEV, V. CHEPYZHOV,
Hausdorff dimension estimation for attractors of nonautonomous
dynamical systems in an unbounded domain, Comm. Pure
Appl. Math., 53 (2000), pp. 647-665.
- M. A. EFENDIEV, J. FUHRMANN, S. ZELIK,
The long-time behaviour of the thermoconvective
flow in a porous media, erscheint in: Math. Methods
Appl. Sci.
- M. A. EFENDIEV, A. MIRANVILLE, S. ZELIK,
Exponential attractors for a nonlinear reaction-diffusion system
in R3, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 330 (2000), pp. 713-718.
- M. A. EFENDIEV, S. ZELIK,
Upper and lower bounds for the Kolmogorov entropy of the
attractor for an RDE in an unbounded domain, erscheint in: J.
Dynamics Differential Equations.
- M. WOLFRUM,
A sequence of order relations, encoding
heteroclinic connections in scalar parabolic PDE ,
WIAS-Preprint No. 599
, 2000.
LaTeX typesetting by I. Bremer
4/30/2001