Gegenseitig katalysierende Verzweigungsstrukturen

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Gegenseitig katalysierende Verzweigungsstrukturen

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: S. Athreya (University of British Columbia, Vancouver, Kanada), D. A. Dawson (Carleton University Ottawa, Kanada), A. M. Etheridge (University of Oxford, Großbritannien), P. Mörters (Universität Kaiserslautern), C. Mueller (University of Rochester, USA), L. Mytnik (Technion, Haifa, Israel), E. A. Perkins (University of British Columbia, Vancouver, Kanada), V. A. Vatutin (Steklov Mathematical Institute, Moskau, Russland), A. Wakolbinger (Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt), J. Xiong (University of Tennessee, Knoxville, USA)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende Stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit: Gegenseitig katalysierende Verzweigungsprozesse beschreiben die Evolution zweier Substanzen, die sich im Raum zufällig bewegen und vermehren, aber auch verschwinden können. Das System ist interaktiv in dem Sinne, dass die Verzweigungsrate jeder Substanz proportional zur lokalen Dichte der anderen Substanz ist. Durch diese Wechselwirkung wird die Grund-Unabhängigkeits-Annahme der Verzweigungstheorie vollständig außer Kraft gesetzt, insbesondere geht auch der bisher so wertvolle Zusammenhang zu Reaktions-Diffusions-Gleichungen verloren. Es sind also teils vollständig neuartige Methoden zur Behandlung dieses Modells notwendig. Das Modell wurde in [1], [2] von Dawson, Perkins und Mytnik begründet, und zwar im eindimensionalen euklidischen Raum $\,\mathsf{R}$ bzw. im Gitterraum $\,\mathsf{Z}^{d}.$ Kontrovers wurde für eine gewisse Zeit diskutiert, ob auch eine nichtentartete $\,\mathsf{R}^{2}$ -Variante eines solchen Modells existiert.

In diesem Jahr ist es nun gelungen ([3]), die nichtentartete Existenz eines zweidimensionalen Kontinuummodells $\,\mathbf{X}=(X^{1},X^{2})$ gegenseitig katalysierender Verzweigungsprozesse nachzuweisen. Dabei wurde vom erwähnten $\,\mathsf{Z}^{2}$ -Modell ausgegangen, wodurch zugleich dessen asymptotisches Massen-Zeit-Raum-Skalierungsverhalten beschrieben wurde. Auch wurden ursprünglich diskutierte Paradoxien aufgeklärt: Der maßwertige Prozess $\,\mathbf{X}$ besitzt zu jeder fixierten Zeit Dichtefunktionen, die obendrein auf disjunkten Mengen des $\,\mathsf{R}^{2}$ leben. Trotzdem ist eine Wechselwirkung möglich, da die Dichtefunktionen bei der Annäherung an die Grenzschichten explodieren. Wie im Gitterfall überlebt nur eine der Substanzen im Langzeitverhalten. Zunächst wurde nur der erste Teil des dreiteiligen Projekts fertiggestellt, insbesondere wurden vorerst nur endliche Maßzustände behandelt. Auch wurde der Eindeutigkeitsnachweis im beschreibenden Martingalproblem noch zurückgestellt. In [4] haben wir eine Einführung in dieses Forschungsgebiet gegenseitig katalysierender Verzweigungsprozesse gegeben und eine Übersicht über die zu erwartenden Ergebnisse zusammengestellt.

Zu den einfacheren katalytischen Verzweigungsprozessen, in denen nur eine einseitige Einwirkung eines Katalysators auf einen Reaktanten auftritt, gibt es auch noch viel Interessantes zu tun. Im Falle des stetigen Super-Brown'schen Reaktanten in $\,\mathsf{R}$ mit stabilen Punktkatalysatoren wurde in diesem Jahr ein in [5] herausgestelltes offenes Problem gelöst: Die unter Massen-Zeit-Raum-Skalierung sich asymptotisch bildenden Cluster sind makroskopisch isoliert. Das Manuskript [6] muss noch fertiggestellt werden.

Selbst für räumliche Verzweigungsprozesse im konstanten Medium bleibt noch so manches aufzuklären. Nachdem in [7] aufgezeigt wurde, dass im Falle von Teilchenlebenszeiten mit einem Verteilungsindex kleiner als eins in der kritischen Dimension überraschenderweise das übliche lokale Sterben verletzt ist, haben wir nun für diesen Fall die persistente Konvergenz im Langzeitverhalten nachgewiesen und den Grenzwert identifiziert: Der Limes ist ein Poisson'sches Teilchensystem mit zufälliger Intensität , die durch eine lokale Dichte im zugehörigen Superprozess im Zeit-Raum-Regime beschrieben wird ([8]). Dabei tritt eine formale Analogie zu katalytischen Verzweigungsprozessen in der kritischen Dimension auf.

Projektliteratur:

D. A. DAWSON, E. A. PERKINS, Long-time behavior and coexistence in a mutually catalytic branching model, Ann. Probab., 26 (1998), No. 3, pp. 1088-1138.
L. MYTNIK, Uniqueness for a mutually catalytic branching model, Probab. Theory Related Fields, 112 (1998), No. 2, pp. 245-253.
D. A. DAWSON, A. M. ETHERIDGE, K. FLEISCHMANN, L. MYTNIK, E. A. PERKINS, J. XIONG, Mutually catalytic branching in the plane: Finite measure states, WIAS-Preprint No. 615, 2000.
D. A. DAWSON, K. FLEISCHMANN, Catalytic and mutually catalytic super-Brownian motions, WIAS-Preprint No. 546, 2000.
D. A. DAWSON, K. FLEISCHMANN, Critical branching in a highly fluctuating random medium, Probab. Theory Related Fields, 90 (1991), pp. 241-274.
D. A. DAWSON, K. FLEISCHMANN, P. MÖRTERS, The clumping behaviour of super-Brownian motion in a stable catalytic medium, in Vorbereitung (2001).
V. A. VATUTIN, A. WAKOLBINGER, Spatial branching processes with long individual life times, Theory Probab. Appl., 43 (1999), No. 4, pp. 620-632.
K. FLEISCHMANN, V. A. VATUTIN, A. WAKOLBINGER, Branching systems with long living particles at the critical dimension, WIAS-Preprint No. 619, 2000.