Spin-Gläser und Neuronale Netze

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Spin-Gläser und Neuronale Netze

Bearbeiter: A. Bovier , B. Niederhauser (Graduiertenkolleg ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``)

Kooperation: I. Kourkova (EURANDOM, Eindhoven, Niederlande und Université Paris VI, Frankreich), M. Löwe (Universität Nijmegen, Niederlande)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Durch eine 1998 als Preprint erschienene Arbeit von M. Talagrand ([1]) rückte eine Klasse ungeordneter Modelle in den Vordergrund des Interesses, die bisher weitgehend vernachlässigt worden war, nämlich Modelle mit Mehrkörperwechselwirkung, sog. p-spin-Wechselwirkungen. Talagrand konnte zeigen, dass in der p-spin-Version des Gauß'schen Sherrington-Kirkpatrick-Modells für den Fall p>2 rigorose Ergebnisse zum Spin-Glas-Phasenübergang bewiesen werden können, die im Fall p=2 noch unerreichbar scheinen, aber ein äußerst interessantes Licht auf diesen Übergang werfen. Dies motivierte uns hinreichend, uns ebenfalls dieser Modellklasse zuzuwenden.

Zunächst widmete sich Beat Niederhauser in seiner Dissertation ([2]) dem Problem, Talagrands Ergebnisse für das SK-Modell auf die entsprechenden Hopfield-Modelle mit p-spin-Wechselwirkung zu übertragen. Nun muss man sehen, dass die Hamiltonfunktion der von Talagrand betrachteten Modelle als Gauß'scher Prozess auf einem N-dimensionalen Hyperkubus dargestellt werden kann. Dies ist aber eine sehr spezielle Situation. Es ging uns daher zunächst darum zu sehen, inwieweit Talagrands Resultate von dieser speziellen Eigenschaft abhängen, und welche Methoden entwickelt werden könnten, um in allgemeineren Situationen zum Zuge zu kommen. Im Weiteren ergab sich die Hoffnung, einem seit langem in den Hopfield-Modellen offenen Problem nachgehen zu können, für das sich im p=2-Fall bisher keine befriedigende Antwort hat finden lassen. So erwartet man nämlich aus heuristischen Überlegungen in diesen Modellen die Existenz einer Spin-Glas-Phase ganz ähnlich derer in den entsprechenden SK-Modellen; insbesondere sollte sich, wenn die Zahl der gespeicherten Patterns groß wird, das Verhalten des Modells immer stärker dem des SK-Modells annähern. Des Weiteren sollten für große Patternzahl die Speichereigenschaften des Modells versagen; beide Erwartungen wurden nun in [2] bestätigt. Technisch ist die Arbeit sehr aufwendig und benötigt komplexe Entwicklungsmethoden.

Ein zweiter interessanter Aspekt der p-spin-Modelle ist die Tatsache, dass sie eine Klasse von Modellen liefern, die vom Standard-SK-Modell bis zum so genannten ,,Random-Energy Model`` (REM) vermitteln. So folgt etwa aus den Ergebnissen in [1] leicht, dass die freie Energie der p-spin-SK-Modelle punktweise gegen die des REM konvergiert, wenn p nach unendlich geht. Mit Kourkova und Löwe haben wir in [3] die Frage aufgegriffen, inwieweit solche Resultate auch auf dem feineren Niveau der zufälligen Fluktuationen der Freien Energie gelten. Dazu zeigten wir, dass im p-spin-Modell Fluktuationen der Freien Energie in der Hochtemperaturphase (in der Tieftemperaturphase ist man noch weit davon entfernt, derart feine Effekte zu kontrollieren) nur von der Ordnung N^-(p-2)/2 sind (p gerade) und dass auf diesem Niveau ein Zentraler Grenzwertsatz gilt. Dies konnte in der Tat für Temperaturen größer als $\beta_p^{-1}$ bewiesen werden, wobei für $p\uparrow\infty$ , $\beta_p\uparrow \sqrt{2\ln 2}$ , den kritischen Wert im REM, strebt. Dies legte nun auch die feinere Untersuchung der Fluktuationen im REM selbst nahe. Dabei zeigte sich, wie zu vermuten, dass die Fluktuationen oberhalb der kritischen Temperatur auf einer exponentiell (in N) kleinen Skala leben, es aber interessanterweise zwei Regime gibt: Oberhalb $\sqrt{\frac 2{\ln 2}}$ sind die Fluktuationen gaußsch, es gilt ein klassischer Zentraler Grenzwertsatz. Für tiefere Temperaturen gilt dagegen ein nichtzentraler Grenzwertsatz, die Fluktuationen werden im Wesentlichen durch den Poisson-Prozess der extremalen Ordnungsstatistik getrieben. An der eigentlichen kritischen Temperatur $1/\sqrt{2\ln 2}$ dominieren diese dann auch das fast sichere Verhalten der Freien Energie, d. h. bei diesem Wert endet die Gültigkeit des Gesetzes der Großen Zahlen.

Projektliteratur:

M. TALAGRAND, Rigorous low temperature results for the mean field p-spins interaction model, Probab. Theory Related Fields, 117 (2000), pp. 303-360.
B. NIEDERHAUSER, Mathematical aspects of Hopfield models, Dissertation, Technische Universität Berlin, 2000.
A. BOVIER, I. KOURKOVA, M. LÖWE, Fluctuations of the free energy in the REM and the p-spin SK-models, WIAS-Preprint No. 595, 2000, eingereicht.