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Tieftemperaturphasen in Modellen mit langreichweitiger Wechselwirkung

Bearbeiter: A. Bovier , C. Külske  

Kooperation: M. Zahradník (Karls-Universität Prag), Tschechische Republik

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende Stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Eine Einführung in die allgemeine Thematik dieses Projektes wurde im Jahresforschungsbericht 1997 gegeben.

In diesem Jahr wurden erhebliche Fortschritte in Richtung auf die Herleitung von Methoden der  Clusterentwicklung und der  Pirogov-Sinai-Theorie für Modelle mit schwacher langreichweitiger Wechselwirkung erzielt. Eine Arbeit, in der diese Resultate dargestellt werden, steht kurz vor der Fertigstellung ([1]). Damit werden dann die nötigen Techniken zur Untersuchung des Random-Field-Kac-Modells bereitstehen. In diesem Zusammenhang wurde als Nebenresultat eine sehr einfache allgemeine Methode zur Kontrolle partieller Entwicklungen von Polymer-Modellen veröffentlicht ([2]), die in der Folge bei der iterativen Behandlung ungeordneter Modelle sehr hilfreich sein wird.

Ein weiterer wichtiger technischer Schritt in der Analyse ungeordneter Kac-Modelle betrifft eine erste Block-Spin-Transformation, die nötig wird, wenn man die strukturelle Nähe zu Mean-Field-Modellen herausarbeiten will. In der Arbeit [3] wurde speziell das Random-Field-Kac-Ising-Modell behandelt. Es wurden die  Gibbs-Eigenschaften der ,,renormierten`` Maße untersucht, die aus den möglichen Kac-Gibbs-Maßen durch Blockmittelungs-Transformation hervorgehen, wobei die Blocklänge hinreichend klein ist verglichen mit der Reichweite der Wechselwirkung. Dabei wurde gezeigt, dass diese Maße in der Tat Gibbs-Maße für ein zufälliges Wechselwirkungs-Potential sind, das unabhängig ist von der Wahl des abgebildeten Kac-Gibbs-Maßes. Man erhält dabei auch explizite Abschätzungen an die Größe der nichtlokalen Anteile der Wechselwirkungen, uniform in der Realisierung des Random Fields. Somit ist das Ergebnis sowohl ein nützlicher technischer Zwischenschritt, um die Phasenstruktur des Kac-Modells auf der Ebene der renormierten Maße zu untersuchen, wie auch eine Illustration zur Theorie (Nicht-)Gibbs'scher Maße.

Eine andere Linie der Weiterentwicklung von Entwicklungsmethoden für Tieftemperaturmodelle wird in der Arbeit [4] beschritten. Hier werden (zunächst kurzreichweitige) Modelle mit energetisch niedrig liegenden potentialen Grundzustandskonfigurationen betrachtet, bei denen die Translations-Symmetrie, ebenso wie die Permutations-Symmetrie bezüglich Vertauschung der Spin-Werte, aufgehoben sein dürfen, wohl aber eine uniforme Peierls-Konstante existieren möge. Ein einfaches Beispiel hierfür ist etwa ein Ising-Ferromagnet mit kleiner nichttranslationsinvarianter 3-Spin-Wechselwirkung. In [4] wird nun in Verallgemeinerung der Pirogov-Sinai-Theorie translationsinvarianter Systeme bewiesen, dass es stets lokale Felder $\eta=\left(\eta_x\right)_{x\in{\Bbb Z}^d}$ gibt, abhängig vom definierten Wechselwirkungspotential $\Phi$, in deren Anwesenheit sich das System am Punkt der maximalen  Phasen-Koexistenz befindet. Ferner wird eine detaillierte Untersuchung der Analytizitäts- und Lokalitätseigenschaften der Abbildung $\Phi\mapsto\eta(\Phi)$gegeben, als Abbildung zwischen den Räumen der Wechselwirkungspotentiale $\Phi$ mit fester endlicher Reichweite und dem der beschränkten Felder $\eta$.

Projektliteratur:

1.  A. BOVIER, M. ZAHRADNÍK, Pirogov-Sinai theory for spin systems with long range interactions, in Vorbereitung.
2.  , A simple inductive approach to the problem of convergence of cluster expansions of polymer models, J. Statist. Phys., 100 (2000), pp. 765-778.
3.  C. KÜLSKE, On the Gibbsian nature of the random field Kac model under block-averaging, WIAS-Preprint No. 606.
4.  , Non-translational invariant lattice-spin models at phase-coexistence: Analyticity and locality, in Vorbereitung.

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