Existenz von Lösungen für Paardiffusionsmodelle

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Existenz von Lösungen für Paardiffusionsmodelle

Bearbeiter: A. Glitzky , R. Hünlich

Kooperation: W. Merz (Technische Universität München)

Förderung: DFG: ,,Zur Analysis von thermodynamischen Modellen des Stoff-, Ladungs- und Energietransports in heterogenen Halbleitern``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Jahr wurden Paardiffusionsmodelle aus der Halbleitertechnologie im Hinblick auf Existenzaussagen untersucht. Dabei konnte von den Resultaten zu Energieabschätzungen und globalen Eigenschaften der Lösungen aus [1], [2] ausgegangen werden.

Wir betrachten m Spezies X_i, von denen nur die ersten l als mobil, d. h. Drift-Diffusionsprozessen unterliegend, angenommen werden, und bezeichnen mit $\psi$ das chemische Potential der Elektronen, $p_i(\cdot,\psi)$ sind geeignet gewählte vom Ort und von $\psi$ abhängende Referenzdichten, die gemäß

$\begin{displaymath} p_i(x,\psi)=p_{0i}(x)\mbox{e}^{P_i(\psi)},~P_i(\psi)=\int_0^\psi Q_i(s)\,\mbox{d} s\end{displaymath}$

mit den Ladungszahlen $Q_i(\psi)$ zusammenhängen. Da die Teilchenzahldichten u_i der mobilen Spezies in Heterostrukturen nicht zu $H^1(\Omega)$ gehören (sie liegen lediglich im dualen Raum), werden die Gleichungen in den chemischen Aktivitäten b_i=u_i/p_0i formuliert, die weiterhin H¹-Größen sind. Die Modellgleichungen bestehen aus m Kontinuitätsgleichungen , die mit einer nichtlinearen Poissongleichung gekoppelt sind:

$\begin{displaymath} \left. \begin{array} {rcll} \displaystyle\frac{\partial u_i}... ...style \text{in } \Omega,~ i=1,\dots,m.\end{array}\quad\right\} \end{displaymath}$ (1)

Dabei ist $\varepsilon$ die Dielektrizität, $-e(\cdot,\psi)$ die Ladungsdichte der Elektronen und Löcher, und f ist eine fixierte Ladungsdichte. Für die mobilen Spezies (Punktdefekte und Dotand-Defekt-Paare) sind die Massenströme durch

$\begin{displaymath} j_i=-D_i(\cdot,b,\psi)p_{0i}\big[\nabla b_i+Q_i(\psi)\, b_i\nabla\psi\big],~ i=1,\dots,l,\end{displaymath}$

gegeben. Die Kontinuitätsgleichungen enthalten Volumenquellterme, die durch reversible Reaktionen der Form

$\begin{displaymath} \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m\rightleftharpoons \beta_1X_1+\dots +\beta_mX_m\end{displaymath}$

entstehen, wobei $\alpha,\,\beta\in \IZ^m_+$ die Vektoren der stöchiometrischen Koeffizienten bezeichnen. Gemeint sind damit die verschiedenen Paarbildungs- bzw. Generations-Rekombinationsreaktionen. Die zugehörigen Reaktionsraten $R_{\alpha\beta}^\Omega$ lauten gemäß dem Massenwirkungsgesetz

$\begin{displaymath} R_{\alpha\beta}^\Omega(x,b,\psi)= k^\Omega_{\alpha \beta}(x,... ...Omega,~ b\in\IR^m_+,~\psi\in\IR,~ a_i=b_i\mbox{e}^{P_i(\psi)}.\end{displaymath}$

Für alle immobilen Spezies X_i, $i=l+1,\dots,m$ , (Dotanden) soll eine Reaktion der Form

$\begin{displaymath} R_{\alpha\beta}^\Omega=k^\Omega_{\alpha \beta} \big[\prod_{j=1}^l a_j^{\alpha_j}-a_i^2\big]\end{displaymath}$

stattfinden (Generation-Rekombination verschiedener Dotand-Defekt-Paare). Zusätzlich können zwischen den mobilen Spezies noch Randreaktionen mit Reaktionsraten $R_{\alpha\beta}^\Gamma$ auftreten. Neben der bereits erwähnten $\psi$ -Abhängigkeit lassen wir Abhängigkeiten der kinetischen Koeffizienten D_i, $k^\Omega_{\alpha \beta}$ und $k^\Gamma_{\alpha \beta}$ vom Ort und vom Zustand selbst (beschrieben durch den Vektor b der chemischen Aktivitäten) zu.

Für den Spezialfall einer homogenen, glatt berandeten Struktur und kinetischer Koeffizienten, die nur von $\psi$ abhängen, sind Aussagen zur Lösbarkeit der Aufgabe (P) in [5] (für den Fall, dass alle Spezies als mobil angesehen werden) und in [4] (mit immobilen Spezies) zu finden.

Die allgemeinere Aufgabe mit Heterostrukturen und mit immobilen Spezies untersuchen wir in [3]. Dazu erfolgt eine zweistufige Regularisierung der Aufgabe (P) durch Probleme ( $\mbox{P}_N$ ) und ( $\mbox{P}_M$ ). Für das nur in den Reaktionstermen der Kontinuitätsgleichungen regularisierte Problem ( $\mbox{P}_N$ ) werden über energetische Abschätzungen und Moser-Iteration vom Regularisierungslevel N unabhängige a priori-Abschätzungen hergeleitet. Das Problem ( $\mbox{P}_N$ ) wird in den Stromtermen weiter regularisiert zu einem Problem ( $\mbox{P}_M$ ), dessen Lösbarkeit mit einer zweistufigen Fixpunktiteration (Banach'scher Fixpunktsatz für Gleichungen der immobilen Spezies, Schauder'scher Fixpunktsatz für Gleichungen der mobilen Spezies) bewiesen wird. Anschließend erfolgen Abschätzungen für die Lösungen von ( $\mbox{P}_M$ ), die nicht vom Regularisierungslevel M abhängen. Mit diesem Wissen wird die Existenz von Lösungen der Probleme ( $\mbox{P}_N$ ) und (P) nachgewiesen.

Projektliteratur:

R. HÜNLICH, A. GLITZKY, On energy estimates for electro-diffusion equations arising in semiconductor technology, in: Partial differential equations. Theory and numerical solution (W. Jäger, J. Necas, O. John, K. Najzar, J. Stará, Hrsg.), Chapman & Hall/CRC Res. Notes Math., 406, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL [u. a.], 2000, pp. 158-174.
A. GLITZKY, R. HÜNLICH, Global properties of pair diffusion models, WIAS-Preprint No. 587, 2000, erscheint in: Adv. Math. Sci. Appl.
$\dito$ , On an existence result for pair diffusion models, in Vorbereitung.
W. MERZ, A. GLITZKY, Single dopant diffusion in semiconductor technology, Preprint SFB-438-0011, TU München, Univ. Augsburg, 2000, eingereicht.
W. MERZ, A. GLITZKY, R. HÜNLICH, K. PULVERER, Strong solutions for pair diffusion models in homogeneous semiconductors, Preprint SFB-438-9921, TU München, Univ. Augsburg, 1999, erscheint in: Nonlinear Anal.