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Subsections

• Physikalisches Modell.
• Mathematische Analyse.
• KPLIB.
• Anwendung.

KPLIB: Toolbox zur Berechnung elektronischer Zustände und der zugehörigen Impulsmatrixelemente in geschichteten Halbleiter-Heterostrukturen -- Anwendung auf Laser mit verspannten Multi-Quantum-Wells

 Bearbeiter: U. Bandelow  (FG 1), H.-Chr. Kaiser  (FG 1), Th. Koprucki  (FG 3), J. Rehberg  (FG 1)  

Kooperation: Bosch Telecom GmbH (Backnang), M. Möhrle (Heinrich-Hertz-Institut für Nachrichtentechnik Berlin (HHI)), H. Wenzel (Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik Berlin (FBH)), H.-J. Wünsche (Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Physik)

Förderung: BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit:

           

Physikalisches Modell.

Die ${k}\cdot{p}$-Methode in der Enveloppenfunktionsapproximation ist ein etabliertes Modell zur Berechnung quantenmechanischer Zustände in nanostrukturierten Halbleiter-Heterostrukturen in der Nähe der Bandkanten, z. B. Quantum-Wells.   Die Methode ist unabhängig von der Anzahl der Atome und macht nur von gewissen Bandstrukturdaten der beteiligten Volumenmaterialien Gebrauch. Darüber hinaus gestattet die ${k}\cdot{p}$-Methode die Berechnung der Impulsmatrixelemente der Inter- und Intrabandübergänge, mit denen optoelektronische Eigenschaften des Materials, z. B. der optische Gewinn oder der Brechungsindex, berechnet werden können.

Quantum-Wells sind Halbleiter-Heterostrukturen, die aus einer Abfolge ebener Schichten unterschiedlicher Materialien bestehen. Mit der ${k}\cdot{p}$-Methode werden die Enveloppen der quantenmechanischen Wellenfunktionen als Eigenfunktionen von räumlich eindimensionalen matrixwertigen ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren berechnet. Letztere hängen parametrisch vom reduzierten Wellenvektor $\vec{k}_\Vert$ ab. Die Subbandstruktur in Quantum-Wells ist durch die Eigenwertkurven $E(\vec{k}_\Vert)$ gegeben.

Mathematische Analyse.

In der Literatur sind im Wesentlichen zwei Zugänge zu ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren bekannt. Am weitesten verbreitet ist der so genannte konventionelle Zugang, bei dem ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren aus den Volumen-${k}\cdot{p}$-Operatoren gewonnen werden, indem die Komponente k_z von $\vec k$ geeignet durch die Ableitung -id/dz ersetzt wird. Die z-Richtung wird dabei als senkrecht zu den Schichtebenen der Quantum-Wells angenommen. Eine rigorose Theorie der Heterostrukturen nach Burt ([2]) führt in einem bestimmten Limes zu ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren von derselben formalen Struktur wie die konventionellen, siehe [3]. Für eine beide Zugänge umfassende Klasse von ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren wurde eine funktionalanalytische Untersuchung der Abhängigkeit der spektralen Eigenschaften vom Wellenvektor $\vec{k}_\Vert$ durchgeführt ([4]). Dabei konnten aus physikalischer Sicht interessante quantitative Abschätzungen über die Erhaltung einer bei $\vec k_\Vert=0$ vorhandenen spektralen Lücke für endliche Werte von $\vec{k}_\Vert$ gewonnen werden.

KPLIB.

Zur numerischen Handhabung der ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren wurde die Toolbox kplib entwickelt, die auf pdelib-Komponenten (siehe S. )     basiert. kplib ist ein objektorientierter Code, geschrieben in ANSI-C, der Template Methods ([5]) zur Diskretisierung von ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren zur Verfügung stellt. Dieser Ansatz ermöglicht es, mit einer großen Fülle von ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren aus der Literatur unter Benutzung verschiedener Diskretisierungsschemata umzugehen.

Die ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren werden durch Objekte der Klasse kpHamiltonOperator repräsentiert. Ein solcher Operator wird dabei als Matrix aufgefasst, die sich aus skalaren Operatoren zusammensetzt. Die für einen konkreten ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operator spezifischen Eigenschaften wie Dimension der Matrix, Form und Art der skalaren Komponenten und deren Diskretisierungsschema werden dabei nicht fest vorgegeben, sondern erst durch austauschbare Plug-ins für das jeweilige Modell festgelegt. Basierend auf diesen Plug-ins stellen die Objekte der Klasse kpHamiltonOperator Template Methods ([5]) zur Diskretisierung der ${k}\cdot{p}$-Schrödinger-Operatoren, zur Lösung des resultierenden Matrix-Eigenwertproblems, zur Berechnung von Impulsmatrixelementen und Wahrscheinlichkeitsdichten bereit. Durch diesen Entwurf wird ein hohes Maß an Flexibilität hinsichtlich der Implementierung und Bewertung unterschiedlichster ${k}\cdot{p}$-Modelle und Diskretisierungen erreicht.

Bisher stehen drei Modelle als Plug-ins in kplib zur Verfügung: der $4\times 4$-Valenzband-Operator nach Chuang ([1], Abschnitt 4.5.2.), ein einfacher Leitungsband-Operator und ein $8 \times 8$-Operator für gekoppelte Valenz-Leitungsbänder für Materialien mit Zinkblende-Struktur. Alle Modelle wurden mit einem durch die mathematische Analyse nahe gelegten, konsistenten Finite-Elemente-Ansatz ([4]) diskretisiert und schließen die Behandlung mechanisch verspannter Quantum-Wells   ein.

Basierend auf kplib wurde ein Simulationswerkzeug zur Berechnung der Subbandstruktur von Quantum-Wells realisiert. Dieses erlaubt darüber hinaus die Berechnung des optischen Gewinns und des optischen Brechungsindex.

Anwendung.

Die mit kplib erhaltenen Ergebnisse gehen bisher parametrisch in die Bauelementesimulation (siehe S. ) ein. Dies sind zum einen die Zustandsdichten der in den Quantum-Wells lokalisierten Ladungsträger (gebundene Zustände). Zum anderen sind dies der zugehörige optische Gewinn und dessen Dispersion. Für eine konsistente Beschreibung der Interbandübergänge wird das $8 \times 8$-Modell für gekoppelte Leitungs- und Valenzbänder aus kplib verwendet, das insbesondere zu einer nichtparabolischen Leitungsbanddispersion führt.

Als Beispiel analysieren wir eine verspannte Multi-Quantum-Well-Struktur, die in langwelligen Indiumphosphit-basierten Halbleiterlasern am HHI Berlin (siehe S. ) realisiert wurde. Die Quantum-Wells sind durch tensil verspannte Barrieren hinreichend entkoppelt, so dass im Folgenden stellvertretend ein einzelner Quantum-Well betrachtet wird. Der behandelte quarternäre Quantum-Well ist 7 nm dick und kompressiv verspannt; seine Subbanddispersion ist in Abb. 1 dargestellt. Im oberen Teil der Abbildung sind die untersten Leitungssubbänder dargestellt, die aufgrund der Symmetrie der Struktur zweifach entartet sind. Das zweite Subband ist energetisch hinreichend separiert, so dass wir uns im Folgenden nur auf Übergänge mit dem ersten Subband beziehen müssen. Die dargestellten Kurven beziehen sich auf die im Bild angegebenen Richtungen im $\vec k$-Raum und charakterisieren die Richtungsabhängigkeit der Energie (Warping). Analog dazu ist im unteren Teil der Abbildung die zugehörige Valenzsubbanddispersion dargestellt. Der Einfluss des Warpings ist hier deutlicher. Die kompressive Verspannung führt zu einer Aufhebung der Entartung zwischen schweren und leichten Löchern, wobei schwere Löcher energetisch bevorzugt werden. Das spiegelt sich in den Oszillatorstärken der Interbandübergänge vom untersten Leitungsband in die obersten drei Valenzbänder für verschiedene Polarisation (oben: TE, unten: TM) wider, siehe Abb. 2. Der Einfluss des Warpings ist auch hier deutlich am Hauptübergang zu erkennen (Unterschied zwischen der dicken und der dünnen Kurve). Aufgrund des geringen Überlapps zwischen den Wellenfunktionen des untersten Leitungsbandzustandes und dem ersten angeregten Zustand der schweren Löcher ist die Oszillatorstärke für diesen Übergang sehr klein. Das dritte Valenzsubband identifiziert sich durch die Dispersion der TM-Oszillatorstärken als leichtes Loch. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Winkelauflösung der Subbanddispersion für die Oszillatorstärken von Bedeutung ist.

Somit ergibt sich ein sehr unterschiedliches Verhalten des optischen Gewinns für die TE- und TM-Polarisation, wie in Abb. 3 dargestellt. Links liegt das Maximum der Verstärkung bei $1,5~ \mu m$,währenddessen rechts die TM-Polarisation das Maximum bei $1,4~ \mu m$ hat. Ursache dieses Offsets ist der Abstand von 60  meV der leichten Löcher zum obersten schweren Loch. Daraus resultiert auch eine schwächere Besetzung dieses Zustandes, was sich in den unterschiedlichen Höhen der Maxima für TE und TM bei gleicher Ladungsträgerdichte widerspiegelt. Dementsprechend wird in dieser Struktur die TE-Polarisation bevorzugt verstärkt, was mit Messungen ([6]) übereinstimmt.

 

Abb. 1: Subbandstruktur für einen 7 nm dicken verspannten InGaAsP-Quantum-Well für jeweils $\vec{k}_\Vert=[100]$ und $\vec{k}_\Vert=[110]$-Richtung; oben: Leitungs-, unten: Valenzbänder.

 

Abb. 2: Zugehörige Interbandoszillatorstärken für die Übergänge vom untersten Leitungsband in die obersten drei Valenzbänder für verschiedene Polarisationen; oben: TE-, unten: TM-Polarisation.

 

Abb. 3: Optischer Gewinn für sechs Flächenladungsdichten ($2,3,\ldots,7\cdot 10^{12}/cm^2$) für verschiedene Polarisationen; rechts: TE-, links: TM-Polarisation. Hinweis: in den Abbildungen ist der optische Gewinn unterschiedlich skaliert!

Projektliteratur:

1.   S. L. CHUANG, Physics of Optoelectronic Devices, Wiley & Sons, 1995.
2.   M. G. BURT, The justification for applying the effective-mass approximation to microstructures, J. Phys. Condens. Matter, 4 (1992), pp. 6651-6690.
3.   B. A. FOREMAN, Effective-mass Hamiltonian and boundary conditions for the valence bands of semiconductor microstructures, Phys. Rev. B, 48 (1995), pp. 4964-4967.
4.   U. BANDELOW, H.-CHR. KAISER, TH. KOPRUCKI, J. REHBERG, Spectral properties of ${k}\cdot{p}$ Schrödinger operators in one space dimension, WIAS-Preprint No. 494, 1999, erscheint in: Numer. Funct. Anal. Optim.
5.   E. GAMMA, R. HELM, R. JOHNSON, J. VLISSIDES, Design patterns. Elements of reusable object-oriented software, Addison Wesley Longman, Bonn, pp. 325-330.
6.   U. BANDELOW, H. GAJEWSKI, H.-CHR. KAISER, Modeling combined effects of carrier injection, photon dynamics and heating in strained multi quantum well lasers, erscheint in: Proceedings of Physics and Simulation of Optoelectronic Devices VIII.

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