Dynamische Systeme mit komplexer Verhaltensstruktur: Kolmogorov-Entropie

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Dynamische Systeme mit komplexer Verhaltensstruktur: Kolmogorov-Entropie und unendlich-dimensionale Attraktoren

Bearbeiter: M. Efendiev (FG 2), P. Krejcí (FG 1), J. Fuhrmann (FG 3)

Kooperation: S. Zelik (Russische Akademie der Wissenschaften, Moskau, Russland), V. V. Chepyzhov (IITP, Moskau, Russland), A. Miranville (Universität Poitiers, Frankreich), H. Berestycki (Universität Paris VI, Frankreich), A. Mielke (Universität Stuttgart), E. Feireisl (Universität Prag, Tschechische Republik), I. Witt (Universität Potsdam)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Gegenstand der Untersuchungen sind Reaktions-Diffusions-Systeme (RDS) der Gestalt

$\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} & = & \Delta u + f(u, \nabla u,t).\end{eqnarray}$

Autonome RDS können in beschränkten Gebieten nur Attraktoren mit endlicher fraktaler Dimension besitzen. Im Gegensatz dazu kann bei nichtautonomen RDS in beschränkten Gebieten ein Attraktor mit unendlicher Dimension auftreten, was auf einen ,,äußeren`` dynamischen Effekt zurückzuführen ist. Für autonome RDS in unbeschränkten Gebieten wurden Bedingungen abgeleitet, die als ,,innere`` dynamische Effekte bezeichnet werden, so dass ein Attraktor mit unendlicher Dimension existiert. Um auch unter diesen Bedingungen Aussagen zur Dynamik zu ermöglichen, wurde die Kolmogorov-Entropie herangezogen. Es wurde gezeigt, dass aus gewissen Eigenschaften dieser Entropie auf räumlich-chaotisches Verhalten geschlossen werden kann ([1], [2]).

Es wurden Bedingungen über die Nichtlinearität f abgeleitet, so dass (1) für $x \in R^N$ einen exponentiellen Attraktor mit endlicher fraktaler Dimension im zugehörigen Phasenraum (Hilbertraum) besitzt. Die Bedeutung dieser Attraktoren liegt darin, dass sie eine Reduktion der Dimension des Zustandsraumes ermöglichen, was insbesondere für die Modellierung chemischer Prozesse von großem Nutzen ist ([3]).

Mit Hilfe der Kolmogorov-Entropie wurden exponentielle Attraktoren für bestimmte Klassen autonomer RDS in unbeschränkten Gebieten $\Omega \subset R^N$ konstruiert, ohne eine Hilbert-Struktur des Phasenraums (die so genannte squeezing property) zu benötigen. Dieser Zugang erlaubt uns, Lösungen mit ,,unendlicher`` Energie (travelling waves) zu betrachten ([1]).

Für quasiperiodisch angeregte RDS (einschließlich der zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen) wurden gleichmäßige (bezüglich der anregenden Frequenzen) Attraktoren konstruiert und deren Dimension durch die Reynolds-Zahl und die Anzahl der Frequenzen abgeschätzt. Bisher ist offen, ob die dabei auftretenden ,,subordinierten`` Terme weggelassen werden können ([4]).

Projektliteratur:

M. A. EFENDIEV, S. ZELIK, Upper and lower bounds for the Kolmogorov entropy of the attractor for an RDE in an unbounded domain, Preprint 42/99, Schwerpunktprogramm der DFG ,,Ergodentheorie, Analysis und effiziente Simulation dynamischer Systeme``, eingereicht.
$\dito$ ,The attractor for a nonlinear reaction-diffusion system in an unbounded domain, WIAS-Preprint No. 505, 1999, eingereicht.
M. A. EFENDIEV, A. MIRANVILLE, Finite dimensional attractors for RDE in Rⁿ with strong nonlinearity, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 15 (1999), No. 2, pp. 399-424.
M. A. EFENDIEV, V. V. CHEPYZHOV, Hausdorff dimension estimation for attractors of nonautonomous dynamical systems in unbounded domains: An example, erscheint in: Comm. Pure Appl. Math.