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Energiemodelle für Halbleiterstrukturen   

Bearbeiter: G. Albinus , H. Gajewski , R. Hünlich , R. Nürnberg , H. Stephan  

Kooperation: G. Wachutka (Lehrstuhl für technische Elektrophysik, TU München), R. Sittig (Institut für Elektrophysik, TU Braunschweig), D. Silber (Institut für elektrische Antriebe, Leistungselektronik und Bauelemente, Universität Bremen), E. Schöll (Institut für theoretische Physik, TU Berlin), J. Knopke, R. Rothe (alpha microelectronics gmbh Frankfurt (Oder))

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Halbleiterbauelemente hoher Leistung ``, BMBF

  Beschreibung der Forschungsarbeit: Für eine realistische mathematische Modellierung von elektronischen Bauelementen hoher Leistung, aber auch anderer Bauelemente, etwa Laserstrukturen, ist die Einbeziehung von Temperatureffekten erforderlich. Während jedoch zur Beschreibung von Reaktions-Diffusions- und Driftvorgängen in Halbleitern bei konstanten Temperaturen gesicherte Modelle existieren, ist die selbstkonsistente Modellierung der Temperaturverteilung bisher nur unzulänglich gelöst.

Im Folgenden wird ein thermodynamisch begründetes Energiemodell  des Ladungsträgertransports in Halbleitern formuliert. Ausgangspunkt ist ein weithin akzeptierter Ansatz für die freie Energie . Daraus werden unter Nutzung weniger thermodynamischer Grundprinzipien deduktiv Evolutionsgleichungen hergeleitet. Diese Herleitung wird hier exemplarisch für die Boltzmannstatistik  und eine parabolische Bandstruktur  skizziert. Sie kann auch für die Fermi-Dirac-Statistik , unter Berücksichtigung ionisierbarer Störstellen, für heiße Ladungsträger und bei allgemeinerer Bandstruktur realisiert werden (vgl. [1]).

Der Halbleiter wird als ein System betrachtet, das aus verschiedenen Teilsystemen besteht, dem Gitter, den Elektronen im Leitungsband und den Löchern im Valenzband. Das Gitter wird beschrieben durch eine positive Wärmekapazität c_L pro Volumeneinheit, durch die positive dielektrische Permeabilität $\varepsilon$ und durch ein fixiertes Dotierungsprofil d vollständig ionisierter Störstellen. Die Materialgrößen c_L, $\varepsilon$ und d sind gegebene Ortsfunktionen. Da in einem Halbleiter Elektronen-Loch-Paare erzeugt werden und rekombinieren, betrachten wir das System in einem Zustand des ,,partiellen lokalen Gleichgewichts``, das besagt, dass das System zu jeder Zeit t in jedem Punkt x des Halbleiters im Temperaturgleichgewicht ist, dass also der Zustand des Systems durch die Dichten n, p und die Temperatur T beschrieben wird, die im Allgemeinen Funktionen von t und x sind. Da wir nur einen gewissen Arbeitsbereich im Auge haben, ist es auch gerechtfertigt, die Energie des Systems als Summe von innerer Energie und elektrostatischer Energie zu betrachten. Daher kann die Herleitung zunächst ohne Berücksichtigung der elektrostatischen Wechselwirkung durchgeführt werden, indem man von der freien Energie ohne ihren elektrostatischen Anteil ausgeht. Die Dichte dieser ,,inneren freien Energie`` lautet im betrachteten Fall

$$\begin{eqnarray*} f(n,p,T) ~=~ c_L (T-T\log{T}) &+& n E_c(T) + nT\left[\log{... ...pT\left[\log{p} - 1 - \frac{3}{2}\log{T} - \log{M_v(T)}\right] ~.\end{eqnarray*}$$

Dabei bezeichnen E_b(T) (b=c,v) die Bandkanten des Halbleiters entsprechend der Elektronenaffinität und die M_b(T) sind bis auf einen Faktor die effektiven Massen zu der Potenz 3/2. Die Dichte der inneren Energie  ist

$$\begin{eqnarray*} u & = & u_f(n,p,T) = f(n,p,T) - T \partial_T f(n,p,T) \ &=& ... ... - p \left[E_v(T) - TE'_v(T) + \frac{3}{2} T + T L_v(T) \right] \end{eqnarray*}$$

mit $L_b(T) :\equiv T\left[ \log{M_b(T)} \right]'$, dabei bezeichnet ein Strich die partielle Ableitung nach T. Die Dichte der Entropie  lautet

$$s = s_f(n,p,T) = - \partial_T f(n,p,T) = c_L \log{T} + P_n n + P_p p$$

mit den Koeffizienten

$$\begin{eqnarray*} P_n &=& \frac{5}{2} - n\log{n} + \frac{3}{2}\log{T} + \log{M_c... ...p} + \frac{3}{2}\log{T} + \log{M_v(T)} + L_v(T) + E'_v(T)~,\ \end{eqnarray*}$$

die die Entropie pro Ladungsträger bezeichnen. Durch Anwendung des Entropie-Maximum-Prinzips  bestimmen wir das Maximum der Entropie unter den Nebenbedingungen konstanter Energie und konstanter Ladung. Dann erhält man zunächst die Gleichgewichtsbedingungen konstanter Temperatur $T \equiv \theta$ und konstanter koinzidierender ,,reduzierter Potentiale``

$$\mu = \partial_n \left[ \frac{1}{\theta}u_f - s_f \right]_{T... ...tial_p \left[ \frac{1}{\theta}u_f - s_f \right]_{T = \theta} ~.$$

Die Konstanten $\lambda\equiv 1/\theta$ und $\mu$ sind die Lagrange-Multiplikatoren der beiden Nebenbedingungen. Wenn man die beiden aufgeführten Gleichgewichtsbedingungen nach n und p auflöst, erhält man vertraute Zustandsgleichungen , die im allgemeinen Fall als Definitionsgleichungen der elektrochemischen Potentiale v und w angesehen werden können,

$$n = M_c(T) T^{3/2}\exp{\frac{v - E_c(T)}{T}} \quad \mbox{und... ...d p = M_v(T) T^{3/2}\exp{\left[-\frac{w - E_v(T)}{T}\right]}~.$$

Die implizit definierte Funktion

$$\tilde{s}(n,p,u) \equiv s_f\left[n,p,\,u_f(n,p,T)\right]$$

ist ein thermodynamisches Potential. Die konjugierten Variablen sind

$$\partial_u \tilde{s} = \frac{1}{T} ~, \partial_n \tilde{s} ... ...\mbox{und} \quad \partial_p \tilde{s} = \frac{w}{T} =: \eta ~.$$

Ausgehend von den Gleichgewichtsbedingungen werden thermodynamische Kräfte als Differenzen oder Gradienten der konjugierten Variablen eingeführt. Die thermodynamischen Kräfte verursachen Ströme von Teilchen und Energie, die in diesem allgemeinen Rahmen nur qualitativ beschrieben werden können, weil sie von zusätzlichen Materialeigenschaften (Wärmeleitfähigkeit des Gitters, Mobilitäten der Ladungsträger, Reaktionsraten in den ,,chemischen Reaktionen``) abhängen, die nicht aus der freien Energie  abgeleitet werden können.

Durch Berücksichtigung der elektrostatischen Wechselwirkung ändern sich die funktionalen Abhängigkeiten f, u_f, s_f, $\xi$ und $\eta$ nicht, nur ist u_f die Dichte der inneren Energie und f bedeutet entsprechend die Dichte einer ,,inneren freien Energie``, der also der elektrostatische Anteil fehlt; es ändern sich aber die Zustandsgleichungen  für die Ladungsträgerdichten in der Weise, dass die elektrochemischen Potentiale v oder w durch die Summen $v+\Psi$ bzw. $w+\Psi$ ersetzt werden.

Eine Formulierung des Systems der Evolutionsgleichungen lautet

$$\begin{eqnarray*} \dot{n} + \nabla \cdot j_n &=& - R~, \ \dot{p} + \nabla \cdo... ...} &=& \left[\nabla \cdot \left( j_p - j_n \right) \right] \Psi \end{eqnarray*}$$

mit den Dichten

$$\begin{eqnarray*} n &=& M_c(T) T^{3/2}\exp{\frac{v + \Psi - E_c(T)}{T}} ~,\ p ... ...- p \left[E_v(T) - TE'_v(T) + \frac{3}{2} T + T L_v(T) \right]~, \end{eqnarray*}$$

dabei ist das elektrostatische Potential $\Psi$ die Lösung einer Randwertaufgabe für die Poissongleichung 

$$- \nabla \cdot (\varepsilon \nabla \Psi )= d + p - n~.$$

Diese Gleichungen sind zu ergänzen durch die Netto-Reaktionsrate

$$R= r(n,p,T) \exp{\left[\frac{1}{T}\left( E_v(T)-E_c(T)\right) \right]} \left[\exp{\frac{v-w}{T}} - 1 \right]~,$$

deren Struktur sich aus dem Massenwirkungsgesetz  ergibt, und die Stromgleichungen

$$\left( \begin{array} {l} j_n \ j_p \ j_u \end{array... ...\nabla \eta \ \quad \nabla \frac{1}{T} \end{array}\right) ~.$$

Entlang jeder Lösung des Systems der Evolutionsgleichungen erfüllt die Entropiedichte s die Bilanzgleichung

$$\dot{s} + \nabla \cdot j_s = (\xi-\eta) R + \left( \begi... ... \nabla \eta \ \quad \nabla \frac{1}{T} \end{array} \right)$$

mit der Entropiestromdichte

$$j_s = - \xi j_n + \eta j_p + \frac{1}{T} j_{u} = P_n j_n + P_p j_p + \frac{1}{T}\kappa \nabla \frac{1}{T}~.$$

Die Forderung, dass die Entropieproduktion, also die rechte Seite der Entropiebilanz, positiv sei, ist erfüllt, wenn der Koeffizient r der Netto-Rekombinationsrate positiv ist und wenn die Koeffizientenmatrix ${\mathbf D}$ positiv definit ist.

Die Energiebilanz kann unter Verwendung der Beziehungen u=u_f(n,p,T) und

$$j_u = (TP_n+v)j_n + (TP_p-w)j_n + \kappa \nabla (1/T)$$

und unter Verwendung der Kontinuitätsgleichungen als Wärmeleitungsgleichung 

$$\begin{eqnarray*} \partial_T u_f \cdot \dot{T} - \nabla \cdot \left( \frac{\kapp... ...left[\left( TP_n+v \right)j_n +\left( TP_p-w \right)j_p \right]\end{eqnarray*}$$

geschrieben werden. In dieser Form ist das Modell im Bauelementesimulator WIAS-TeSCA    implementiert, auch unter Berücksichtigung der Fermi-Dirac-Statistik , der Elektronen-Löcher-Streuung  und der Störstellendynamik . Darüber hinaus ist es möglich, das durch Rekombinations- und Resonanzeffekte hervorgerufene optische Feld zu berechnen, was für die Simulation von Laserstrukturen erforderlich ist. Dabei sind für alle Materialparameter (Beweglichkeiten, Rekombinationsraten, Wärmeleitkoeffizient, Wärmekapazität, Bandkanten, Eigenleitungsdichten, Brechungsindex, Absorptionskoeffizienten und optischer Gewinn) explizite Abhängigkeiten von der Temperatur berücksichtigt, die der Benutzer über zugängliche Parameter seinen konkreten Problemen anpassen kann (vgl. [2]).

Das System partieller Differentialgleichungen wird in WIAS-TeSCA selbstkonsistent mit der Methode der finiten Elemente auf einem Dreiecksgitter gelöst. Die Diskretisierung der Gleichungen erfolgt in einer Weise, dass sich die Entropie des entstehenden diskreten Gleichungssystems wie im kontinuierlichen Fall entsprechend dem zweiten Hauptsatz verhält.

Mit dieser Version von WIAS-TeSCA sind verschiedene Aufgaben für praktisch relevante Halbleiterstrukturen , wie sie bei unseren Kooperationspartnern auftreten, gelöst worden, unter anderem das dynamische Verhalten von Fabry-Perot-Lasern  (siehe S. ) und das Durchbruchverhalten von Leistungstransistoren  (siehe S. ).

Projektliteratur:

1.  G. ALBINUS, H. GAJEWSKI, R. HÜNLICH, Thermodynamic design of energy models of semiconductor devices, in Vorbereitung.
2.  H. GAJEWSKI ET AL., WIAS-TeSCA, Manual, in Vorbereitung.   

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