Inverse Probleme in Hydrologie und Seismik

Bearbeiter: G. Bruckner, S. Handrock-Meyer, H. Langmach (FG 3) 

Kooperation: H.-J. Diersch (WASY GmbH Berlin), M. Yamamoto (Universität Tokio),
L. Eldén (Universiät Linköping)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Schwerpunkte waren die Regularisierung spezieller inverser Probleme durch eine Vorbehandlung der Daten sowie Identifizierbarkeitsfragen. Dabei standen die folgenden konkreten Aufgaben im Mittelpunkt:

1. Die Bestimmung des ortsabhängigen Koeffizienten in der zweidimensionalen stationären Diffusionsgleichung mit Anwendung bei der Bestimmung der Bodendurchlässigkeit aus Grundwasserständen (Hydrologie) als forschungsgruppenübergreifendes und anwendungsbezogenes Projekt (siehe Projekt S. )

   Bei der Optimierung der Grundwasserüberwachung sowie bei der Altlastensanierung sind Aussagen über die Bodendurchlässigkeit von grundlegender Bedeutung. Zur Verfügung hat man nur wenige Meßwerte von Grundwasserständen sowie gewisse Kenntnisse über die Eigenschaften des Bodenmaterials. Auf Grund des Mangels an Meßwerten ist es unmöglich, vollständige Aussagen abzuleiten. Der Vertragspartner, die WASY GmbH, hat an Ergebnissen zu dieser Problematik großes Interesse.

   Mathematisches Modell ist das lineare elliptische Randwertproblem

   

   gegeben in einem beschränkten Gebiet mit stückweise glattem Rand , wobei die äußere Einheitsnormale zu bezeichnet. Zu identifizieren ist der Koeffizient aus Messungen von im Gebiet. Zur Behandlung des zweidimensionalen stationären Falles wurde ein von G. Vainikko entwickeltes direktes Verfahren benutzt. Es hat gegenüber indirekten Verfahren Vorteile in der Rechengeschwindigkeit und zeichnet sich dadurch aus, daß es bei lokal vollständig gegebenen Meßwerten lokal brauchbare Resultate liefert.

   Dieses Verfahren wurde mit einer Methode der Datenvorglättung kombiniert mit dem Ziel, den Informationsmangel in den Daten mit Hilfe von a priori Informationen soweit wie möglich zu kompensieren und im Wechsel mit der Invertierung iterativ Daten und Koeffizient im Rahmen der gegebenen Information zu verbessern. Testrechnungen ergaben, daß dieses modifizierte Verfahren eine echte Weiterentwicklung der Methode von Vainikko darstellt, da es auch bei lokal unvollständig gegebenen Meßwerten verwertbare Ergebnisse liefert.

   Vergleichsrechnungen, in denen die Gauß-Newton-Levenberg-Marquardt-Methode verwendet wurde, ergaben für den zweidimensionalen stationären Fall, daß das oben beschriebene Verfahren unter Ausnutzung aller verfügbaren Informationen brauchbare Resultate bei kurzer Rechenzeit liefert. Die numerische Realisierung und die Implementierung des erstellten Programms in das Simulationssystem des Anwenders erfolgte in enger Zusammenarbeit der Forschungsgruppen 3 und 4.

   Im Zusammenhang mit diesem Projekt wurde auch die Frage der Identifizierbarkeit des ortsabhängigen Koeffizienten unter den vom Anwender vorgegebenen Randbedingungen untersucht. Da der Koeffizient im betrachteten Anwendungsproblem eine stückweise konstante Funktion ist, wurde die Identifizierbarkeit im Raum untersucht. Die Randbedingungen sind vom Robin-Typ. Es läßt sich zeigen, daß der Koeffizient in Teilgebieten, in denen der Grundwasserstand nicht konstant ist und in solchen, in denen die Strömungslinien sich nicht tangential dem Rand des Gebietes nähern, identifiziert werden kann.

2. Die Bestimmung von Punktquellen in der Wellengleichung durch Messungen im Inneren oder auf dem Rande mit Anwendung (im 3D-Fall) auf die Bestimmung von Erschütterungsherden im Erdinneren aus Messungen an der Oberfläche

   Betrachtet wurde die eindimensionale Wellengleichung

   

   in der aus Messungen von für fixiertes y, bzw. aus Messungen von zu bestimmen sind. Neben Fragen der Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität spielten Fragen der Rekonstruierbarkeit eine wichtige Rolle.

   Geht man von natürlichen, d. h. gestörten Meßdaten aus, so ist wegen der Schlechtgestelltheit des Problems eine stabile Konstruktion der Lösung ohne Regularisierung nicht möglich. Diese wurde hier durch eine Methode der Datenglättung vorgenommen, die mathematisch die Bestimmung der singulären Werte einer Einbettungsabbildung beinhaltet. Die so vorbehandelten Daten sind für eine stabile Anwendung der nichtlinearen Rekonstruktionsabbildung geeignet. Letztere konnte in Spezialfällen explizit gefunden werden.

3. Die Identifikation von Koeffizienten in quasilinearen Differentialgleichungen

   Betrachtet wurde das Problem der numerischen Bestimmung des Koeffizienten in einer quasilinearen Differentialgleichung der Form

   

   mit Robin-Randbedingungen. Diese Aufgabe stellt einen Spezialfall der in [4] und [5] in Bezug auf die Identifizierbarkeit untersuchten Probleme dar. Als Daten sind Werte der Funktion u in einigen wenigen Meßpunkten gegeben. Eine direkte Diskretisierung der Lösungsformel mit Hilfe von Meyer-Wavelets lieferte brauchbare numerische Resultate. Ein anderer Lösungsweg ist die Transformation des inversen Problems in eine Integralgleichung erster Art. Die Untersuchungen werden fortgeführt, die Resultate sind verallgemeinerungsfähig.

Projektliteratur:

1.   G. BRUCKNER, S. HANDROCK-MEYER, H. LANGMACH, On the identification of soil transmissivity from measurements of the groundwater level, WIAS-Preprint No. 250, Berlin 1996; erscheint in: Proceedings of the Third Hellenic European Conference on Mathematics and Informatics, E. A. Lipitakis, ed., Hellenic Mathematical Society, Athen, 1996.

2.   G. BRUCKNER, M. YAMAMOTO, On the determination of point sources by boundary observations: Uniqueness, stability and reconstruction, WIAS-Preprint No. 252, Berlin 1996.

3.   G. BRUCKNER, M. YAMAMOTO, Identification of point sources by boundary observations: Uniqueness, stability and reconstruction, erscheint in: Proceedings of the Third Hellenic European Conference on Mathematics and Informatics, E. A. Lipitakis, ed., Hellenic Mathematical Society, Athen, 1996.
4.   S. HANDROCK-MEYER, Identifiability of distributed parameters for a class of quasilinear differential equations, erscheint in: Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.
5.   S. HANDROCK-MEYER, Identifiability of distributed physical parameters, in: Parameter Identification and Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology, J. Gottlieb and P. DuChateau, eds., Kluwer Academic Publishers, 1996, pp. 225--231.