Bearbeiter: G. Bruckner, S. Handrock-Meyer, H. Langmach (FG 3)
Kooperation: H.-J. Diersch (WASY GmbH Berlin),
M. Yamamoto (Universität Tokio),
L. Eldén (Universiät Linköping)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Schwerpunkte waren die Regularisierung spezieller inverser Probleme durch eine Vorbehandlung der Daten sowie Identifizierbarkeitsfragen. Dabei standen die folgenden konkreten Aufgaben im Mittelpunkt:
Bei der Optimierung der Grundwasserüberwachung sowie bei der Altlastensanierung sind Aussagen über die Bodendurchlässigkeit von grundlegender Bedeutung. Zur Verfügung hat man nur wenige Meßwerte von Grundwasserständen sowie gewisse Kenntnisse über die Eigenschaften des Bodenmaterials. Auf Grund des Mangels an Meßwerten ist es unmöglich, vollständige Aussagen abzuleiten. Der Vertragspartner, die WASY GmbH, hat an Ergebnissen zu dieser Problematik großes Interesse.
Mathematisches Modell ist das lineare elliptische Randwertproblem
gegeben in einem beschränkten Gebiet mit stückweise glattem
Rand
, wobei
die äußere
Einheitsnormale zu
bezeichnet. Zu identifizieren
ist der Koeffizient
aus Messungen von
im Gebiet.
Zur Behandlung des zweidimensionalen
stationären Falles wurde ein von G. Vainikko
entwickeltes direktes Verfahren benutzt. Es hat gegenüber indirekten
Verfahren Vorteile in der Rechengeschwindigkeit und zeichnet sich dadurch aus,
daß es bei lokal vollständig gegebenen Meßwerten lokal brauchbare
Resultate liefert.
Dieses Verfahren wurde mit einer Methode der Datenvorglättung kombiniert mit dem Ziel, den Informationsmangel in den Daten mit Hilfe von a priori Informationen soweit wie möglich zu kompensieren und im Wechsel mit der Invertierung iterativ Daten und Koeffizient im Rahmen der gegebenen Information zu verbessern. Testrechnungen ergaben, daß dieses modifizierte Verfahren eine echte Weiterentwicklung der Methode von Vainikko darstellt, da es auch bei lokal unvollständig gegebenen Meßwerten verwertbare Ergebnisse liefert.
Vergleichsrechnungen, in denen die Gauß-Newton-Levenberg-Marquardt-Methode verwendet wurde, ergaben für den zweidimensionalen stationären Fall, daß das oben beschriebene Verfahren unter Ausnutzung aller verfügbaren Informationen brauchbare Resultate bei kurzer Rechenzeit liefert. Die numerische Realisierung und die Implementierung des erstellten Programms in das Simulationssystem des Anwenders erfolgte in enger Zusammenarbeit der Forschungsgruppen 3 und 4.
Im Zusammenhang mit diesem Projekt wurde auch die
Frage der Identifizierbarkeit des ortsabhängigen
Koeffizienten unter den vom Anwender vorgegebenen Randbedingungen
untersucht.
Da der Koeffizient im betrachteten Anwendungsproblem eine stückweise
konstante Funktion ist, wurde die Identifizierbarkeit im Raum
untersucht.
Die Randbedingungen sind vom Robin-Typ. Es läßt sich zeigen, daß der
Koeffizient in Teilgebieten, in denen der Grundwasserstand nicht konstant
ist und in solchen, in denen die Strömungslinien sich nicht tangential dem
Rand des Gebietes nähern, identifiziert werden kann.
Betrachtet wurde die eindimensionale Wellengleichung
in der aus Messungen von
für
fixiertes y, bzw. aus Messungen von
zu bestimmen sind.
Neben Fragen der Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität spielten Fragen der
Rekonstruierbarkeit eine wichtige Rolle.
Geht man von natürlichen, d. h. gestörten Meßdaten aus, so ist wegen der Schlechtgestelltheit des Problems eine stabile Konstruktion der Lösung ohne Regularisierung nicht möglich. Diese wurde hier durch eine Methode der Datenglättung vorgenommen, die mathematisch die Bestimmung der singulären Werte einer Einbettungsabbildung beinhaltet. Die so vorbehandelten Daten sind für eine stabile Anwendung der nichtlinearen Rekonstruktionsabbildung geeignet. Letztere konnte in Spezialfällen explizit gefunden werden.
Betrachtet wurde das Problem der numerischen Bestimmung des Koeffizienten
in einer quasilinearen Differentialgleichung der Form
mit Robin-Randbedingungen. Diese Aufgabe stellt einen Spezialfall der in [4] und [5] in Bezug auf die Identifizierbarkeit untersuchten Probleme dar. Als Daten sind Werte der Funktion u in einigen wenigen Meßpunkten gegeben. Eine direkte Diskretisierung der Lösungsformel mit Hilfe von Meyer-Wavelets lieferte brauchbare numerische Resultate. Ein anderer Lösungsweg ist die Transformation des inversen Problems in eine Integralgleichung erster Art. Die Untersuchungen werden fortgeführt, die Resultate sind verallgemeinerungsfähig.
Projektliteratur: