Numerische Lösung des fixen geodätischen Randwertproblems zur Bestimmung des Schwerefeldes der Erde

Bearbeiter: A. Rathsfeld 

Kooperation: R. Klees (Delft University of Technology)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Ein fundamentales Problem der Geodäsie besteht in der Bestimmung des Schwerefeldes der Erde, wobei die Gestalt der Erdoberfläche als bekannt vorausgesetzt wird und die Schwerewerte an der Erdoberfläche durch Messungen bestimmt werden. Das gesuchte Schwerefeld ergibt sich als Lösung der Poisson-Gleichung im Außengebiet unter Einbeziehung einer nichtlinearen Randbedingung. Durch Linearisierung, durch Vernachlässigung kleiner Größen und mittels Potentialansatz kann das Randwertproblem für die Poissongleichung auf die stark singuläre Integralgleichung

mit einem nichttangentialen Vektorfeld über der Erdoberfläche S zurückgeführt werden. Die Schwierigkeit bei der numerischen Lösung der singulären Integralgleichung besteht darin, daß eine sehr komplexe, strukturierte Oberfläche möglichst genau aufgelöst werden muß, d. h., daß bei der Diskretisierung sehr große lineare Gleichungssysteme entstehen. Selbst mit der Speicherkapazität und Rechengeschwindigkeit modernster Computer können die anstehenden Matrizen nur mit Hilfe von Kompressionstechniken bearbeitet werden.

Als Testbeispiel für die numerische Lösung der singulären Integralgleichung über der gesamten Erdoberfläche S wurde im vergangenen Jahr die eingeschränkte Gleichung betrachtet, d. h., S wurde durch einen quadratischen Ausschnitt der Erdoberfläche ersetzt und die durch einen Waveletkollokationsalgorithmus diskretisierte Matrix konnte bis auf 3 % komprimiert werden, ohne daß der numerische Fehler sich verschlechtert (vgl. [1], [2]).

Der entscheidende Anteil der Rechenzeit bei der Realisierung des Algorithmus verstreicht bei der Berechnung der komprimierten Matrix. Deshalb wurde im Berichtsjahr ein neuer Quadraturalgorithmus für die Waveletmethode entwickelt, der die fehlende Glattheit der Geometrie berücksichtigt. Mit seiner Hilfe konnte die Rechenzeit von geschätzten 10 500 s für einen konventionellen Kollokationsalgorithmus auf nur 890 s für den Waveletalgorithmus gesenkt werden.

Außerdem wurde der Waveletalgorithmus für den Fall beliebiger Randmannigfaltigkeiten verallgemeinert, so daß die Diskretisierung der kugelförmigen Erdoberfläche möglich wird. Für diesen verallgemeinerten Algorithmus konnte gezeigt werden, daß die Kompressionsraten, die Fehlerabschätzungen und die Komplexitätsraten (d. h. die Abschätzungen für den Rechenaufwand) erhalten bleiben (vgl. [3]).

Projektliteratur:

1.   B. KLEEMANN, A. RATHSFELD, R. SCHNEIDER, Multiscale methods for boundary integral equations and their application to boundary value problems in scattering theory and geodesy, in: W. Hackbusch, G. Wittum (Herausgeber): Boundary Elements, Implementation and Analysis of Advanced Algorithms, Proceedings of the 12th GAMM-Seminar Kiel, Notes on Numerical Fluid Mechanics, Vol. 54, Vieweg-Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 1996.
2.   A. RATHSFELD, A wavelet algorithm for the boundary element solution of a geodetic boundary value problem, WIAS-Preprint No. 225, Berlin 1996; eingereicht in: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.
3.   A. RATHSFELD, A wavelet algorithm for the solution of a singular integral equation over a smooth two-dimensional manifold. WIAS-Preprint No. 267, Berlin 1996; eingereicht in: Adv. Comput. Math.