Analytische und numerische Behandlung eines Modells zu Gedächtnislegierungen

Bearbeiter: M. Schwarz

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Im vorliegenden Projekt wird an der Modellierung, Analysis und Numerik eines Modells von I. Müller u.a. [1] gearbeitet. Dieses Modell simuliert die Effekte in Formgedächtnislegierungen, die als sogenannte ,,neue Werkstoffe`` schon vielfältige Anwendungen in Industrie und Medizin besitzen. Dabei werden temperaturabhängig Phasenübergänge zwischen zwei prinzipiellen Gitterkonstellationen beobachtet, einer hochsymmetrischen Phase mit Namen Austenit und dem Martensit, das oft als Zwilling in den gescherten Varianten Martensit-Plus und --Minus auftritt.

Das untersuchte Modell erlaubt die Simulation einer zweiachsig beanspruchten Probe aus polykristallinem Material aus einer Formgedächtnislegierung und berücksichtigt dabei die Energiebilanz und den Drehanteil bei jeder Deformation.

Insofern unterscheidet es sich vom bisher nur im eindimensionalen Fall (Draht) untersuchten Landau-Ginzburg-Modell, als daß durch Annahme einer ebenen Deformation in einem polykristallinen Körper quasi eine Annäherung an den zweidimensionalen Fall gegeben ist.

Modellvariable sind Deformationsgradient , Phasenanteile für die Phasen Martensit-Minus, Austenit und Martensit-Plus sowie die Temperatur . Nach einigen Annahmen über die Probe und das zu simulierende Experiment gelingt es, durch eine Variable D zu ersetzen und man erhält ein implizites System von fünf gewöhnlichen Differentialgleichungen für in der Form

mit ,,Steuergrößen`` äuß erer Temperatur und äuß erer Belastung , sowie rechter Seite f, deren Koeffizienten Integrale über halboffene Intervalle beinhaltet.

Die Existenz einer lokalen Lösung wurde nachgewiesen. Eine Aussage über globale Existenz ist nichttrivial, da die Regularität der Matrix A a priori nicht gesichert ist.

Abbildung zeigt Hysteresekurven aus der numerischen Simulation eines uniaxial eingespannten Einkristalls aus Formgedächtnislegierung in einem sogenannten soft--loading--device, bei dem nach Vorgabe einer äu Belastung die daraus resultierende Dehnung gemessen wird.

Zum Vergleich zeigt Abbildung das experimentelle Ergebnis für aus [2], das eine sehr gute qualitative Übereinstimmung mit der Simulation für einen tiefen Temperaturbereich zeigt.

Projektliteratur:

1. M. Achenbach, T. Atanackovic and I. Müller, A Model for Memory Alloys in Plane Strain, Int. J. Solids Structures, 22 (2), 1986, 171--193.
2. Y. Murakami, Lattice Softening, Phase Stability and Elastic Anomaly of the --Au--Cu--Zn Alloys, Journal of the Physical Society of Japan 33 (5), 1972, 1350-1360.