Phasenfeldmodelle für diffusive Phasenübergänge

Bearbeiter: J. Sprekels

Kooperation: Prof. Dr. P. Colli (Turin), Dr. Ph. Laurençot (Nancy),
Prof. Dr. Ph. Bénilan (Besançon), Dr. W. Horn (Los Angeles), Prof. Dr. J. Sokolowski (Warschau), Prof. Dr. S. Zheng (Shanghai)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt wird das von Penrose und Fife in [8] hergeleitete System der Phasenfeldgleichungen

zur Modellierung diffusionsgesteuerter Phasenübergänge mit nichtkonserviertem Ordnungsparameter untersucht. Dieses Modell, das auf Phasenübergänge wie flüssig--fest, flüssig--gasförmig, ferromagnetisch, ferroelektrisch angewendet werden kann, beruht auf dem Landau--Ginzburg--Ansatz für ein freies Energiefunktional der Form

wobei die absolute Temperatur, eine konvexe, möglicherweise nichtdifferenzierbare Funktion und glatte Funktionen bezeichnen. ist typischerweise ein double--well--Potential; sind positive Materialkonstanten.

Im Berichtszeitraum wurden folgende Aspekte der allgemeinen Problematik untersucht:

• Numerische Lösung der Phasenfeldgleichungen; es wurde hierzu ein Verfahren entwickelt, das in zwei Raumdimensionen konvergent ist ([3], [6]; in Abbildung 1 sind die Resultate einer numerischen Simulation dargestellt);
• Optimale Steuerung der Phasenevolution unter Zustandsrestriktionen [5];
• Existenzfragen [1, 2, 4, 7];
• Asymptotisches Verhalten der Lösungen der Phasenfeldgleichungen, wenn Zeitrelaxation und Grenzflächenkoeffizient gegen konvergieren.

Förderung: PROCOPE-Programm ,,Freie Randwertprobleme und Asymptotik von Evolutionsgleichungen``; EU, HCM-Netzwerk ,,Phase Transitions and Surface Tension``

Projektliteratur:

1. P. Colli, J. Sprekels, On a Penrose-Fife model with zero interfacial energy leading to a phase--field system of relaxed Stefan type. Ann. Mat. Pura Appl. (to appear)
2. P. Colli, J. Sprekels, Stefan problems and the Penrose--Fife phase field model. (submitted)
3. W. Horn, A numerical scheme for the one--dimensional Penrose--Fife model for phase transitions. Adv. in Math. Sci. and Appl. 2, 457--483 (1993).
4. W. Horn, Ph. Laurençot, J. Sprekels, Global solutions to a Penrose--Fife phase--field model under flux boundary conditions for the inverse temperature. (submitted)
5. W. Horn, J. Sokolowski, J. Sprekels, Control problems with state constraints for a Penrose--Fife phase--field model. WIAS-Preprint Nr. 139
6. W. Horn, J. Sprekels, A numerical method for a singular system of parabolic equations in two space dimensions. (in preparation)
7. W. Horn, J. Sprekels, S. Zheng, Global existence for the Penrose--Fife phase--field model of Ising ferromagnets. Adv. in Math. Sci. and Appl. (to appear)
8. O. Penrose, P.C. Fife, Thermodynamically consistent models of phase--field type for the kinetics of phase transitions. Physica D 43, 44--62 (1990).

Forschungsgruppe 2