Bearbeiter: N. Bubner
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Im vorliegenden Projekt wird an der Modellierung und Simulation von
Phasenübergängen in
[4]
Formgedächtnislegierungen
gearbeitet. In SMA gibt es zwei verschiedene
stabile Gleichgewichtskonfigurationen des Metallgitters, die
temperaturabhängig sind. Der Übergang zwischen diesen beiden
Phasen, Austenit und Martensit, ist von 1. Ordnung.
Ausgangspunkt der Arbeit sind Messungen, die von Müller und seinen Mitarbeitern seit Jahren an der TU Berlin durchgeführt werden [1]. Sie führen last-, temperatur- und dehnungsgesteuerte Experimente von dünnen Stäben aus SMA durch. Bei hohen Temperaturen verhalten sich die Proben elastisch, bei niedrigen pseudo- oder quasiplastisch, d.h., es werden Hysteresiskurven gemessen. Bei dehnungsgesteuerten Experimenten beobachtet man außerdem, daß die Hysteresiskurven eine innere Struktur besitzen, u.a. können innere ,,Schleifen`` gemessen werden. Es gibt bisher kaum theoretisches Verständnis dieser sogenannten ,,inner loops``.
In diesem Projekt wird ein von Falk für lastgesteuerte Experimente entwickeltes Landau-Ginzburg-Modell [vgl. 2] auf ein dehnungsgesteuertes übertragen. Die Wohldefiniertheit dieses Modells wurde analog zu [2] gezeigt. Außerdem wurde das Kontrollproblem zur Steuerung der Phasenübergänge formuliert.
Das numerische Verfahren zur Simulation eines von
Müller durchgeführten
dehnungsgesteuerten Experiments
[3], bestehend aus einem FE--Ansatz
mit kubischen Splines
für die Impulsbilanz, wobei die Nichtlinearitäten
nach
einer Idee von [4],
und einem voll impliziten Verfahren für die
Energiebilanz, in dem die
Nichtlinearitäten explizit behandelt werden, wurde
ausgetestet. Damit das Verfahren stabil läuft, ist
aufgrund
der enormen Unterschiede
in den Größenordnungen der Koeffizienten (bis zu
18) eine Zeitschrittweite
von bis zu 
sec notwendig.
Echtzeitsimulationen von 
sec
benötigen auf den neuesten Workstations des Instituts
daher einige Tage bis
einige Wochen, je nach Anzahl der finiten Elemente.
In den letzten 3 Monaten wurden Simulationen im Niedrigtemperaturbereich durchgeführt und folgende Resultate erzielt: Es gibt zum einen nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ gute Übereinstimmung mit den Messungen. Daraus können Schlüsse zur Bedeutung des Ginzburg--Terms als ,,verschmierte`` Grenzflächenenergie und über die Größe des Ginzburg--Parameters gezogen werden: Dieser muß groß genug gewählt werden, damit eine Hysteresiskurve erhalten wird. Bei zu kleinen Werten erhält man die Maxwell--Linie. Damit stimmt das Landau-Ginzburg-Modell mit dem Ansatz von [5] insofern überein, daß der Wert des Parameters für die Kohärenzenergie für die Größe der Hysteresis bestimmend ist. Ebenso können Beziehungen zu theoretischen Überlegungen von Rogers et al. [u.a. 6] hergestellt werden. In diesen Arbeiten wird ein neues Modell vorgestellt, welches als Spezialfälle zum einen den Landau--Ginzburg--Ansatz enthält, zum anderen dem Ansatz von [5] entspricht.
Weiterhin erhalten wir Zugang zur inneren Struktur der Hysteresiskurven. Die Simulationen stimmen größtenteils mit den Messungen (auch mit experimentellen Resultaten, die man im Ferromagnetismus erhält [3]) qualitativ überein.
In den Abbildungen und
ist die numerisch berechnete innere Spannung 
am
Rand eines
SMA--Drahtes (Länge des Drahtes: 1 cm)
gegenüber der Dehnung 
, die an diesem Rand von
außen vorgegeben wird, aufgetragen.
Die Abbildungen zeigen jeweils die ,,äußere``
Hysteresis mit zwei verschieden
großen ,,inner loops``.
Besonders bei dem größeren ,,inner loop``
(Abb.) wird die innere Struktur der Hysteresis
sichtbar.
Abbildung zeigt die gemessene Hysteresiskurve,
mit der die physikalischen Parameter für die
numerischen Simulationen
geeicht wurden und die auch quantitativ gut mit den
Simulationen
übereinstimmt (Länge des Drahtes: 3.4 cm; um die
Abbildungen
vergleichen zu können, müssen wegen 
,
A:
Querschnitt des Stabes, die gemessenen Werte für die
Kraft noch
durch 4.5 dividiert werden).
Abbildung
zeigt typische Beispiele von
inneren Loops.
Projektliteratur:
