Adaptive Multiskalenmethoden zur Lösung von Randelementmethoden

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Adaptive Multiskalenmethoden zur Lösung von Randelementmethoden

Bearbeiter: A. Rathsfeld

Kooperation: R. Schneider, M. Konik (Technische Universität Chemnitz)

Förderung: DFG: ,,Adaptive Multiskalenmethoden zur Lösung von Randelementmethoden``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Der komplizierteste und aufwendigste Teil des Waveletalgorithmus besteht in der Aufstellung der komprimierten Matrix des linearen Gleichungssystems mittels Quadraturalgorithmus. Zu diesem Punkt gibt es recht wenig theoretische Untersuchungen. Während v. Petersdorff, Schwab und Schneider ([2], [5]) Algorithmen nur für stückweise analytische Daten und Geometrie entwickelt haben, konnten wir in [1] ein erstes Verfahren vorstellen für den Fall von Randmannigfaltigkeiten mit endlichem Glattheitsgrad und für Kernfunktionen, die sich als Produkt von Funktionen mit endlichem Glattheitsgrad mal Funktion mit der typischen Singularität der Pseudodifferentialoperatoren darstellen lassen. Die Reduktion der Glattheitsvoraussetzungen erschließt neue Anwendungsmöglichkeiten für die schnellen Waveletalgorithmen, wo alternative Methoden wie das schnelle Multipolverfahren oder das Panelclustering nicht mehr zur Verfügung stehen.

In diesem Jahr haben wir zwei neue Verfahren entwickelt. Dabei ist es uns in [4] gelungen, einen Quadraturalgorithmus zur Kollokation für Integraloperatoren der Ordnung null und minus eins zu entwickeln, der nur auf der Calderón-Zygmund-Abschätzung der Kernfunktion basiert. Letztere Abschätzung ist die fundamentale Voraussetzung, die schon für den Kompressionsschritt unabdingbar ist. In einem zweiten Verfahren (siehe [3]) haben wir uns der vollständigen Diskretisierung des Wavelet-Galerkin-Verfahrens für Einfachschichtpotentialgleichungen zugewandt. Wir konnten fast optimale Konvergenzraten für den Fehler herleiten, und im Vergleich mit [1] konnte die Glattheitsvoraussetzung an den Kern K(P,Q)=f(P,Q,[P-Q]/|P-Q|)|P-Q|^-1 auf die stetige Differenzierbarkeit endlicher Ordnung für die Charakteristik $(P,Q,\Theta)\mapsto f(P,Q,\Theta)$ reduziert werden. Die numerischen Tests zu diesem Verfahren werden voraussichtlich im nächsten Jahr abgeschlossen.

Projektliteratur:

S. EHRICH, A. RATHSFELD, Piecewise linear wavelet collocation on triangular grids, Approximation of the boundary manifold and quadrature, erscheint in: Electron. Trans. Numer. Anal., 2001.
T. V. PETERSDORFF, C. SCHWAB, Fully discrete multiscale Galerkin BEM, in: Multiresolution Analysis and PDE (A. J. Kurdila, P. Oswald, Hrsg.), Wavelet Analysis and its Applications, Academic Press, San Diego, CA, 1997, pp. 287-346.
M. KONIK, A. RATHSFELD, R. SCHNEIDER, A quadrature algorithm for wavelet Galerkin methods, in Vorbereitung.
A. RATHSFELD, R. SCHNEIDER, On a quadrature algorithm for the piecewise linear wavelet collocation applied to boundary integral equations, Preprint No. 00-15, SFB 393, Technische Universität Chemnitz, 2000.
R. SCHNEIDER, Multiskalen- und Waveletkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten L"osung großer vollbesetzter Gleichungssysteme, Habilitationsschrift, Adv. in Numer. Math., Teubner, Stuttgart, 1998.