Parameterschätzung bei Mehrphasenströmungen

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Parameterschätzung bei Mehrphasenströmungen

Bearbeiter: V. Schulz

Kooperation: S. B. Hazra, G. Wittum (Universität Heidelberg)

Förderung: DFG: ,,Inverse Modellierung von Strömungs- und Transportvorgängen im heterogenen Untergrund auf der Basis von Mehrgitterverfahren``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Mehrphasenströmungen spielen eine große Rolle z. B. bei Problemen der Schadstoffentsorgung im Untergrund. Die zugrunde liegenden mathematischen Modelle werden in Form instationärer nichtlinearer partieller Differentialgleichungen formuliert, in die empirische Beziehungen eingehen. Beispielsweise wird die benötigte Kapillardruck-Sättigung-Beziehung durch einen Brooks-Corey-Ansatz beschrieben, bei dem zwei konstitutive Parameter, der Eindringdruck p_d und ein weiterer BC-Parameter $\lambda$ , a priori unbekannt sind und sich auch nicht aus anderen Beziehungen ableiten lassen. Um realitätsnahe Simulationsrechnungen über den Erfolg geplanter In-situ-Remediationsmaßnahmen durchführen zu können, ist die Schätzung solcher Parameter aus direkt zugänglichen anderweitig gemessenen Größen essentiell. Hier sollen sie aus punktweisen Messungen des Kapillardrucks zu verschiedenen Zeitpunkten gewonnen werden. Zur Durchführung der Parameterschätzung wird ein Output-least-squares-Problem in Form eines Optimierungsproblems mit PDE-Beschränkungen formuliert. Dies führt vor allem auf zwei Problempunkte: die Hochdimensionalität der diskretisierten Optimierungsprobleme und deren Nichtlinearität. Da bekanntermaßen Einfachschießansätze zu numerischen Instabilitäten führen, wird ein Mehrzielverfahren entwickelt, bei dem aufgrund der Tatsache, dass es sich nicht um eine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern um eine instationäre partielle Differentialgleichung handelt, als Spezifikum eine schwache Formulierung der Stetigkeitsbedingungen gewählt wird. Um die Hochdimensionalität des Problems zu beherrschen, wird ein reduzierter Gauß-Newton-Zugang angewendet, bei dem die Ableitungsberechnungen im Sinne der Internen Numerischen Differentiation gleichzeitig mit den nötigen Vorwärtsrechnungen durchgeführt werden. Beispielhaft wird in [1] das McWhorter-Problem betrachtet und hier eine Schätzung der oben genannten Parameter erzielt nach etwa sieben nichtlinearen Iterationen. Abbildung 1 zeigt den Verlauf des Kapillardrucks über die Zeit an den ausgewählten Messstellen zu Beginn der Rechnung (links) und am Ende (rechts). Der Multiple-Shooting-Optimierungsalgorithmus wurde im Rahmen der in Heidelberg entwickelten PDE-Software-Toolbox ug implementiert.

**Abb. 1:** Kapillardruck an Messpunkten.
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Projektliteratur:

S. B. HAZRA, V. H. SCHULZ, Numerical parameter identification in multiphase flow through porous media, eingereicht.