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Bearbeiter: G. Bruckner , J. Elschner , R. Hinder , G. Schmidt
Kooperation: H.-J. Rostalski (Raytek GmbH Berlin), B. Kleemann (Carl Zeiss Oberkochen), J. Bischoff (Carl Zeiss Jena), G. Bao (Michigan State University, East Lansing, USA), J. Cheng (Fudan Universität, Shanghai, China und Gunma Universität Kiryu, Japan), M. Yamamoto (Universität Tokio, Japan)
Förderung: BMBF: ,,Analytische und numerische Behandlung direkter und inverser Probleme für diffraktive Strukturen -- Optimierung binärer optischer Gitter`` (03EL7FV1/4)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Ziel des Projekts ist die analytische und numerische Behandlung und vertiefte Modellierung direkter und inverser Beugungsprobleme für mikrooptische Strukturen. Solche Bauelemente realisieren optische Eigenschaften und Funktionen, die mit traditionellen optischen Elementen nicht erreichbar sind. Im Zuge der weiteren Miniaturisierung ergeben sich neue interessante Anwendungsfelder solcher Elemente, z. B. in der Lasertechnologie, bei der optischen Datenübertragung oder beim optischen Rechnen.
Ein Teilthema des Projekts ,,Direkte und inverse Probleme bei diffraktiven Strukturen -- Optimierung binärer Gitter`` wurde durch das BMBF gefördert und Mitte 2000 erfolgreich abgeschlossen. Ein neues Projekt ,,Modellierung und Optimierung mikrooptischer Oberflächenstrukturen`` wird im Rahmen des Förderprogramms ,,Neue mathematische Verfahren in Industrie und Dienstleistungen`` vom 1. Januar 2001 an für drei Jahre vom BMBF unterstützt.
Im Mittelpunkt der bisherigen Arbeiten standen die Simulation und Optimierung binärer und Multilevel-Gitter. Die Modellierung basiert auf den Maxwell-Gleichungen im dreidimensionalen Ganzraum, deren numerische Lösung aber wegen der hohen Frequenzen des Lichts und der Kleinheit der Strukturen im Submikrometerbereich zurzeit nicht möglich ist. Im Fall periodischer Strukturen, den so genannten Beugungsgittern, können die Maxwell-Gleichungen auf Variationsprobleme mit nichtlokalen Randbedingungen in einer beschränkten zweidimensionalen Zelle reduziert werden.
Beim direkten Problem werden die charakterisierenden Größen der reflektierten und transmittierten Moden gesucht, die durch die Beugung einer zeitharmonischen Welle an einer periodischen Struktur entstehen. Diese Größen lassen sich aus dem ermittelten elektromagnetischen Feld durch einfache Formeln berechnen. Beim Problem des optimalen Entwurfs geht es darum, Gitterstrukturen zu bestimmen, die möglichst genau vorgegebene Größen für die reflektierten und transmittierten Moden annehmen. Die mathematischen Untersuchungen zu diesem Problemkreis wurden weitestgehend abgeschlossen, die entwickelten Algorithmen wurden für den technologisch relevanten Fall der binären und Multilevel-Gitter im Programmsystem DIPOG implementiert. Die Untersuchungen zum inversen Problem der diffraktiven Optik wurden intensiviert. Motivation ist das Problem der Rekonstruktion des Gitterprofils aus gemessenen Fernfelddaten, das z. B. bei der Inspektion diffraktiver Strukturen auftritt. Für Modellprobleme wurden Fragen der Stabilität und Einzigkeit untersucht sowie Konvergenzaussagen für die Tikhonov'sche Regularisierung hergeleitet.
Auf die 2000 durchgeführten Arbeiten wird in den folgenden Punkten näher eingegangen.
1. Direkte Probleme.
Die konische Diffraktion wird durch ein System von verallgemeinerten Helmholtzgleichungen, die über Stetigkeitsbedingungen an den Materialgrenzen gekoppelt sind, beschrieben ([3]). Die Berechnung der Beugungseffektivitäten basiert auf einer verallgemeinerten FE/BE-Diskretisierung in einem beschränkten Gebiet, wobei die Ausstrahlungsbedingungen durch nichtlokale Randintegraloperatoren realisiert werden. Ist die Gitterstruktur in ein Schichtsystem eingebettet, dann lassen sich diese Systeme ebenfalls durch nichtlokale Randintegraloperatoren beschreiben, so dass bei der numerischen Lösung nur die inhomogene Struktur diskretisiert werden muss. Die Untersuchungen dieser Randoperatoren sowie die Konvergenzanalyse der entsprechenden Finite-Element-Methode wurden abgeschlossen ([4]). Durch den Einsatz der verallgemeinerten Finite-Element-Methode (GFEM) und der modifizierten Randoperatoren wurde die Effizienz der Algorithmen zur Lösung des direkten Problems wesentlich erhöht.
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Die Implementierung dieses Zugangs in DIPOG wurde insbesondere bei den Partnern der BMBF-Projekte für die Berechnung von binären und Multilevel-Gittern genutzt. War zu Anfang der Arbeiten zum Projekt die Form von Beugungsgittern bei Perioden unterhalb des Mikrometerbereichs auf binäre Gitter beschränkt, erlaubt die Entwicklung der Herstellungstechniken mittlerweile auch allgemeinere, polygonale Geometrien der Beugungsgitter. Deshalb ist ein Schwerpunkt des neuen BMBF-Projekts die Entwicklung effektiver Lösungsverfahren für Gitter mit möglichst allgemeiner Geometrie und Materialzusammensetzung.
In Zusammenarbeit mit G. Bao wurden mathematische und numerische Untersuchungen von Beugungsgittern aufgenommen, die mit optisch nichtlinearen Materialien beschichtet sind. Unter gewissen Voraussetzungen an die Kristallstruktur der Materialien lassen sich solche Gitter durch ein System von Helmholtzgleichungen modellieren, zu deren Lösung in DIPOG bereitgestellte Algorithmen benutzt werden können. Numerische Ergebnisse belegen eine wesentliche Erhöhung des Wertes der zweiten Harmonischen im Vergleich zu Schichtsystemen. Es ist deshalb vorgesehen, Verfahren zur Geometrieoptimierung solcher Gitter zu entwickeln.
2. Optimale Design-Probleme.
Die auf Abstiegsverfahren beruhenden Algorithmen zum optimalen Design von Beugungsgittern erfordern die Berechnung der Gradienten der Rayleigh-Koeffizienten bezüglich Änderung der Gitterparameter. Die in [2] erhaltenen analytischen Gradientenformeln waren jedoch auf den Fall der klassischen Diffraktion (Einfall senkrecht zur Gitterebene) an binären Gittern und schwacher Lösungssingularitäten beschränkt. In [6] wurden Methoden aus [5] weiterentwickelt, um den praktisch wichtigen Fall mehrerer zusammenstoßender Materialien und beliebiger Singularitäten bei schrägem Lichteinfall behandeln zu können. Außerdem wird damit der für spätere Anwendungen wichtige Fall allgemeiner polygonaler Geometrien erfasst. Dieser Zugang, der auf dem Konzept der Materialableitung (anstelle der Gebietsableitung) beruht, erlaubt die Berechnung der Ableitungen der Diffraktionskoeffizienten durch wegunabhängige Kurvenintegrale sowohl für binäre diffraktive Elemente als auch für allgemeinere (stückweise glatte) Profile. Damit wurde die Grundlage zur Entwicklung effektiver Algorithmen zum optimalen Design von Beugungsgittern bei konischer Diffraktion gelegt.
3. Inverse Probleme.
Ein weiteres praktisch relevantes inverses Problem ist die Rekonstruktion des Gitterprofils aus den gemessenen Fernfelddaten, das z. B. bei der Inspektion diffraktiver Strukturen auftritt. Dabei ist der Nachweis der Eindeutigkeit sowie der (lokalen oder globalen) Stabilität solcher Probleme von zentraler Bedeutung. Bisher lagen noch keine Ergebnisse zur lokalen Stabilität für nichtglatte Profilkurven vor, die z. B. beim praktisch wichtigen Fall von binären und Multilevel-Gittern auftreten. Globale Stabilitätsabschätzungen für periodische diffraktive Strukturen sind selbst im Fall glatter Grenzflächen bisher nicht publiziert worden. Ein noch größeres Defizit im internationalen Forschungsstand besteht hinsichtlich einer effizienten numerischen Lösung dieser inversen Probleme.
Aufbauend auf den in [5] entwickelten Methoden, konnten in [7] neue lokale Stabilitätsabschätzungen vom Lipschitz-Typ für polygonale Profile beim inversen TE- und TM-Diffraktionsproblem erhalten werden. Weiterhin wurden in Zusammenarbeit mit J. Cheng und M. Yamamoto Untersuchungen zur Eindeutigkeit und Stabilität des inversen Problems im Modellfall eines vollständig reflektierenden, glatten, periodischen Profils durchgeführt. In [9] wurde für glatte Profile erstmalig eine globale Stabilitätsabschätzung gewonnen, aus der man eine Konvergenzrate für die Tikhonov'sche Regularisierung des inversen Problems herleiten kann. Letzteres soll in zukünftigen Untersuchungen geschehen.
Für den Fall diskreter Messpunkte wurde in [8] die
Eindeutigkeit in den
Fällen eines absorbierenden Mediums einerseits
sowie eines nichtabsorbierenden Mediums unter zusätzlichen
a priori-Informationen andererseits untersucht.
Unter Verwendung von Aussagen über die
eindeutige Fortsetzbarkeit von Lösungen der Helmholtzgleichung
werden hinreichende Kriterien für die Rekonstruierbarkeit des Profils
bewiesen. Für kontinuierliche Beobachtungen auf dem gesamten
Intervall sind solche Aussagen weitgehend bekannt. In der Praxis kann
jedoch nur an diskreten Stellen gemessen werden.
Weiterhin wurde ein numerisches Verfahren zur Rekonstruktion eines vollreflektierenden zweidimensionalen periodischen Profils aus Fernfelddaten bereitgestellt. Dazu wurde eine von A. Kirsch und R. Kress (vgl. [1]) entwickelte Methode zur Bestimmung glatter Hindernisse in der akustischen Streutheorie der Spezifik der diffraktiven Optik angepasst. Das gestreute Feld wird dabei als Einfachschichtpotential angesetzt, wobei die unbekannte Dichte aus dem Fernfeld zu bestimmen ist. Dann wird das gesuchte Profil aus der Dichte unter Verwendung der homogenen Dirichlet-Randbedingung, die längs des Profils gilt, ermittelt. Diese Methode vermeidet die Lösung direkter Probleme in jedem Iterationsschritt und beruht auf der Zerlegung des schlecht gestellten nichtlinearen Gesamtproblems in ein schlecht gestelltes lineares Teilproblem und ein gut gestelltes nichtlineares Teilproblem. Dabei können moderne Optimierungsverfahren für das nichtlineare Teilproblem eingesetzt werden. Mit der Implementierung des Verfahrens im Fall glatter Profilkurven wurde begonnen. Es bestehen gute Aussichten, die Konvergenz dieser Methode auch für nichtglatte Profile nachzuweisen.
Projektliteratur:
, Conical diffraction by
periodic structures:
Variation of interfaces and gradient formulas, WIAS-Preprint No. 586,
2000.
, Inverse scattering for
periodic structures: Stability of polygonal interfaces, eingereicht.
, An inverse problem of diffractive
optics: Conditional stability, in Vorbereitung.
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