Kinetische Darstellung der Lösungen hyperbolischer Systeme

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Kinetische Darstellung der Lösungen hyperbolischer Systeme

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik

Förderung: DFG: ,,Kinetische Behandlung von ausgewählten hyperbolischen Anfangs- und Randwertproblemen``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt entwickeln wir Lösungsmethoden für nichtlineare hyperbolische Systeme erster Ordnung, die sich auf eine unter den Feldgleichungen liegende kinetische Betrachtung gründen. Im Berichtszeitraum haben wir hierzu mit der Bearbeitung von zwei neuen Fragestellungen begonnen.

Bisher hatten wir das Anfangs- und Randwertproblem der Eulergleichungen durch mikroskopische Betrachtung der Teilchen-Wand-Wechselwirkung gelöst, siehe hierzu [2]. Die gesuchten Felder Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur werden dann dargestellt durch Integrale über dem Raum der Mikrogeschwindigkeiten der beteiligten Gasteilchen. In diesen Integralen treten Projektionsfunktionen auf, die die möglichen Wandwechselwirkungen explizit berücksichtigen, und für die wir ein Berechnungsschema entwickelt haben.
Die Methode der Berechnung von Projektionsfunktionen haben wir nun ersetzt durch eine Alternative, die flexibler zu handhaben ist und die auf Stetigkeitsbedingungen an der Wand basiert. Die erwähnten Integrale enthalten jetzt Hilfsfunktionen, von denen wir gezeigt haben, dass sie mit den gegebenen Randwerten über nichtlineare algebraische Gleichungen zusammenhängen. Diese Gleichungen resultieren aus Stetigkeitsbedingungen, die wir fordern, wenn wir bei festgehaltener Zeit den Limes ,,innerer räumlichen Punkt $\rightarrow$ Wandpunkt`` betrachten ([1]).
Das im Jahr 1998 vorgestellte und gelöste Anfangs- und Randwertproblem zur Beschreibung von Wärmeleitung in Kristallen bei tiefer Temperatur ist vor allem aus mathematischer Sicht interessant. Hier haben wir bereits erfolgreich die Methode der Stetigkeitsbedingungen analytisch und numerisch aufgestellt und ausgewertet ([3]). Allerdings reicht die im verwendeten Feldgleichungssystem enthaltene Struktur nicht aus, um die reichhaltigen Phänomene, die im Zusammenhang mit der Ausbreitung von Wärmepulsen auftreten können, alle zu erfassen. Dies geht aber mit einer Erweiterung des alten Systems, die wir im Berichtszeitraum abgeleitet haben: Bisher betrachteten wir ein Feldgleichungssystem für die Variablen Energiedichte e und Wärmefluss Q_i, die wir in dem Feldvektor $u_{A}=\left( e,Q_{i}\right) ,A\in \{0,1,2,3\}$ ,zusammenfassen. Jetzt erweitern wir u_A gemäß $u_{A}=\left( e,Q_{i},N_{<ij\gt}\right) ,A\in \{0,1,2,3,...,8\}$ . Hier ist N_<ij> der spurfreie Anteil des Impulsflusstensors der die Wärme übertragenden Phononen .
Wir betrachten nun einen Normalbereich $\Omega$ bzgl. der Achse in der Raumzeit mit positiv orientiertem Flächenelement des Randes $\partial \Omega$ . Die Bilanzgleichungen für die Variablen u_A lauten dann

$\begin{displaymath} \oint\limits_{\partial \Omega }\left( u_{A},F_{Ak}\right) d\vec{o}=\int\limits_{\Omega }P_{A}dtd^{3}x, \end{displaymath}$ (10)

bzw. bei stetiger Differenzierbarkeit der Größen

$\begin{displaymath} \frac{\partial u_{A}}{\partial t}+\frac{\partial F_{Ak}}{\partial x_{k}}=P_{A}. \end{displaymath}$ (11)

Die Flüsse und Produktionen haben wir über das Maximum-Entropie-Prinzip und mittels eines einfachen Phonon-Gitter-Wechselwirkungsmodells mit den Variablen in Beziehung gesetzt. Wir haben gezeigt, dass gilt

$\begin{displaymath} u_{A}=-\frac{\partial h^{\prime }}{\partial \Lambda _{A}},\q... ...{\partial ^{2}I}{\partial \Lambda _{0}\partial \Lambda _{k}}. \end{displaymath}$ (12)

Die Größen $\Lambda _{A}=\left( \Lambda _{0},\Lambda _{k},...\right)$ sind Lagrange-Multiplikatoren , und das Potential I ist eine explizit gegebene Funktion der $\Lambda _{A}.$ Das resultierende Feldgleichungssystem ist vom symmetrisch hyperbolischen Typ.

Beide Fragestellungen werden in den beiden kommenden Jahren im Rahmen eines DFG-Projektes bearbeitet. Algebraische Stetigkeitsbedingungen für die kinetische Lösung des Anfangs- und Randwertproblems hyperbolischer Systeme deuten auf ein noch nicht gänzlich verstandenes allgemeines Lösungsprinzip hin.

Projektliteratur:

W. DREYER, M. KUNIK, Kinetische Behandlung von ausgewählten hyperbolischen Anfangs- und Randwertproblemen, DFG-Projektantrag.
$\dito$ , Reflections of Eulerian shock waves at moving adiabatic boundaries , Monte Carlo Methods Appl., 4 (1998), No. 3, pp. 231-252.
$\dito$ , Initial and boundary value problems of hyperbolic heat conduction , Contin. Mech. Thermodyn., 11 (1999), No. 4, pp. 227-245.