Hysteresephänomene in der Elastoplastizität

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Hysteresephänomene in der Elastoplastizität

Bearbeiter: P. Krejcí , M. Siegfanz , J. Sprekels ,

Kooperation: J. Francu (Technische Universität, Brno, Tschechische Republik)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Dynamische Modelle der Elastoplastizität , die in der Praxis am häufigsten Verwendung finden, beziehen sich direkt oder indirekt auf die Variationsungleichung

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array} {l} \big< \dot u(t) - \dot x(t), x(t) ... ...] x(t) \in Z \, , \quad x(0) = x^0 \in Z \, ,\end{array}\right.\end{displaymath}$ (4)

wobei $u\in W^{1,1}(0,T\,;\IT)$ (,,Input``) und $x\in W^{1,1}(0,T\,;\IT)$ (,,Output``) innere Variablen sind, z. B. Dehnung und Spannung, $\IT$ ein Vektorraum mit Skalarprodukt $\big<\cdot, \cdot\big\gt$ , $t\in [0,T]$ die Zeit und $Z\subset \IT$ eine konvexe abgeschlossene Teilmenge von $\IT$ ist. Der Punkt bezeichne die Ableitung nach t.

Diese Aufgabe stellt den grundlegenden Baustein der mathematischen Plastizitätstheorie dar. Der Lösungsoperator $x = \mbox {\bc s}_Z[x^0, u]$ (oder kurz $x = \mbox {\bc s}_Z[u]$ , falls x⁰ im entsprechenden Sinne kanonisch gewählt wird) heißt Stop mit Charakteristik Z; seine Eigenschaften werden seit den siebziger Jahren systematisch untersucht. Eine Zusammenfassung bisheriger Resultate über die analytischen Eigenschaften des Stop-Operators in den Funktionenräumen $W^{1,p}(0,T\,;\IT)$ , $BV(0,T\,;\IT)$ und $C([0,T];\IT)$ hinsichtlich der Geometrie der konvexen Menge Z wurde im Buch [1] vorgestellt.

a) Die Arbeit [2] zeigt, dass die Lipschitz-Stetigkeit des Normalenvektors der konvexen Menge Z nicht nur hinreichend für die lokale Lipschitz-Stetigkeit des Stop-Operators $\mbox {\bc s}_Z$ im Raum $W^{1,1}(0,T\,; \IT)$ ist, sondern auch notwendig.

b) Die Homogenisierungstheorie wurde in der Arbeit [3] verwendet, um das eindimensionale Prandtl-Ishlinskii-Modell zu begründen. Der Prandtl-Ishlinskii-Operator $\cal P$ definiert das elastoplastische Materialgesetz in der Form

$\begin{displaymath} \sigma = {\cal P} [\varepsilon] \, ,\end{displaymath}$ (5)

wobei $\varepsilon$ , $\sigma$ die einachsigen zeitabhängigen Dehnungs- und Spannungsfunktionen bezeichnen. Der Operator ${\cal P}: C[0,T] \to C[0,T]$ wird als das Stieltjes-Integral

$\begin{displaymath} {\cal P} [\varepsilon](t) := a\,\varepsilon(t) + \int^\infty_0 {\mbox {\bc s}}_r [\varepsilon]\, d\nu (r)\end{displaymath}$ (6)

über alle eindimensionalen Stop-Operatoren ${\mbox {\bc s}}_r$ mit Charakteristiken [-r,r], r>0, für jedes $\varepsilon\in C[0,T]$ und $t\in [0,T]$ definiert, wobei a>0 eine Konstante und $\nu$ eine gegebene nicht fallende Verteilungsfunktion ist, $\nu(+\infty) = -a$ . In der Arbeit [3] wurde vorausgesetzt, dass a und $\nu$ auch von der Raumkoordinate x abhängen dürfen. Ein typisches Beispiel wäre die stückweise konstante Abhängigkeit, die einem laminierten Material mit unterschiedlichen Schichtdichten und Materialeigenschaften (z.B. Elastizitätskonstanten und Fließgrenzen) entspricht. Es wurde bewiesen, dass die hyperbolische Bewegungsgleichung

$\begin{displaymath} \rho(x)\,u_{tt} - \left({\cal P} [u_x]\right)_x = g(x,t)\end{displaymath}$ (7)

für longitudinale oder torsionale Schwingungen eines elastoplastischen Stabes mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen eine eindeutige starke Lösung für beliebige Funktionen $\rho(x)$ und g(x,t) hat.

Die Homogenisierungsaufgabe besteht darin, eine Folge von Gleichungen vom Typ (4) zu betrachten, mit räumlich periodischen Materialdaten $\rho^\eta(x)$ , $\nu^\eta(x,r)$ in der Form

$\begin{displaymath} \rho^\eta(x) = \rho^1(\frac x\eta)\, , \ \nu^\eta(x,r) = \nu^1(\frac x\eta,r)\, ,\end{displaymath}$ (8)

$\rho^1(y) = \rho^1(y+1)$ , $\nu^1(y,r)=\nu^1(y+1,r)$ für jedes $y\in \IR$ und r>0, mit der Absicht, $\eta$ gegen null konvergieren zu lassen. Es wurde gezeigt, dass die entsprechende Lösungsfolge $u^\eta$ stark konvergiert, und eine explizite Formel für den Grenzoperator $\cal P$ vom Prandtl-Ishlinskii-Typ wurde hergeleitet, so dass die Grenzfunktion eine Grenzgleichung der Form (4) erfüllt.

c) Dissipationseigenschaften einer nichtlinearen Erweiterung des Prandtl-Ishlinskii-Modells (das so genannte Preisach-Modell) wurden in der Arbeit [4] weiter untersucht. Als Modellbeispiel wurde die Gleichung

$\begin{displaymath} \ddot w + u = \psi(t)\, , \quad w = u + {\cal W}[u]\, ,\end{displaymath}$ (9)

mit einem Preisach-Operator ${\cal W}$ und einer beschränkten äußeren Kraft $\psi(t)$ betrachtet, die die Schwingungen eines nichtlinearen elastoplastischen oder eines ferromagnetischen Oszillators beschreibt, wobei die Hysterese die einzige Dissipationsquelle ist. Eine explizite asymptotische Bilanzbedingung zwischen der Energiezufuhr (dargestellt durch die rechte Seite $\psi$ ) und der hysteretischen Energiedissipation wurde hergeleitet, die entscheidet, ob jede Lösung global beschränkt bleibt, oder ob Resonanzlösungen existieren können.

d) Die numerische Lösung von Gleichung (4) für $\rho(x) \equiv 1$ mit verschiedenen Randbedingungen wird in [5] untersucht. Dabei wird ein implizites Finite-Differenzen-Schema mit Gedächtnis verwendet. Es wird vorausgesetzt, dass zu dem Hysterese-Operator $\cal P$ aus Gleichung (4) eine Familie von approximierenden Hysterese-Operatoren ${\cal P}^{\,\delta}$ , $\delta \ge 0$ , existiert, die zwei verschiedene Monotonie- und eine Lipschitz-Bedingung sowie eine Bedingung an die Form der Hysterese-Schleifen erfüllt, wobei der Approximationsfehler linear von $\delta$ abhängt. Diese Bedingungen werden insbesondere von dem in der Gleichung (3) definierten Hysterese-Operator erfüllt. Unter den genannten Voraussetzungen wurden die Existenz und Eindeutigkeit der numerischen Lösung, falls das Verhältnis der Zeit- zur Ortsschrittweite hinreichend klein ist, sowie die Konvergenz des numerischen Verfahrens und eine Fehlerabschätzung der Ordnung 1/2 bewiesen.

Projektliteratur:

P. DRáBEK, P. KREJCí, P. TAKáC, Nonlinear Differential Equations, Research Notes in Mathematics, 404, Chapman & Hall/CRC, London, 1999.
P. KREJCí, A remark on the local Lipschitz continuity of vector hysteresis operators, erscheint in: Appl. Math., 45 (2000).
J. FRANCU, P. KREJCí, Homogenization of scalar wave equations with hysteresis, Contin. Mech. Thermodyn., 11 (1999), pp. 371-391.
P. KREJCí, Resonance in Preisach systems, erscheint in: Appl. Math., 45 (2000).
M. SIEGFANZ, Die eindimensionale Wellengleichung mit Hysterese, Dissertation, in Vorbereitung.