Phasenfeldsysteme

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Phasenfeldsysteme

Bearbeiter: O. Klein , P. Krejcí , J. Sprekels

Kooperation: P. Colli, G. Gilardi (Universität Pavia, Italien), M. Frémond (LMSGC, Paris, Frankreich), S. Zheng (Fudan Universität, Shanghai, China)

Förderung: DFG: ,,Hysterese-Operatoren in Phasenfeld-Gleichungen``, VIGONI

Beschreibung der Forschungsarbeit: Diffusive Phasenübergänge, wie z. B. das Kristallwachstum oder die Phasenseparation, werden häufig durch Phasenfeldsysteme modelliert. In derartigen Systemen ist eine Evolutionsgleichung für den so genannten Ordnungsparameter des Phasenübergangs mit einer weiteren Evolutionsgleichung gekoppelt, die typischerweise entweder die Impulsbilanz oder die Bilanzgleichung für die innere Energiebilanz beinhaltet. Aus praktischen Anwendungssituationen abgeleitete Systeme dieser Art sind seit längerem Gegenstand der Untersuchungen am WIAS. Im Rahmen des Projektes wurden im Berichtszeitraum verschiedene Typen Phasenfeldsysteme untersucht.

a) Zur Modellierung des Erstarrens von unterkühltem Wasser wurde von Frémond in [2] das folgende modifizierte Stefan-Problem eingeführt:

$\begin{eqnarray} C_V\,\partial_t{\theta} - \kappa \Delta \theta = g & \mbox{im ... ...a_M - \theta)}{\theta_M} & \mbox{auf der Grenzschicht Wasser/Eis.}\end{eqnarray}$

Hierbei sind $\,\theta\,$ die absolute Temperatur, $\left[ \cdot \right]$ der Sprung einer Größe entlang der Grenzschicht zwischen Wasser und Eis, W_N die Normalengeschwindigkeit der Grenzschicht, L eine positive Konstante und $c(\theta)$ eine Funktion der Temperatur.

Um dieses Problem näherungsweise zu lösen, wurde das folgende Phasenfeldsystem betrachtet:

$\begin{eqnarray} \partial_t\,\left(C_V\, \theta + L \chi\right)\,-\, \kappa \De... ...]}(\chi) &\ni & \frac{L}{\theta_M}\left(\theta -\theta_M\right)\,.\end{eqnarray}$

Hierbei sind $\,\chi\,$ die Volumenfraktion der flüssigen Phase (Ordnungsparameter) und ferner $\phi(\nabla \beta, \theta)$ eine geeignete Näherung von ${\displaystyle \frac{c(\theta)}{\left\vert\nabla \chi\right\vert}}$ .Es gelang in [1, 4], die Lösbarkeit dieses Systems nachzuweisen.

b) Phasenübergänge werden häufig von Hysterese-Phänomenen begleitet. Zur besseren Modellierung dieser Erscheinungen wurde in den Arbeiten [5, 6, 7, 8] ein neuer Zugang entwickelt, der darin besteht, die Hysterese direkt in Form von Hysterese-Operatoren in die Phasenfeldgleichungen aufzunehmen. Man erhält dabei Systeme der Form

$\begin{eqnarray} \mu(\theta)\,w_t\,+\,{\cal H}_1 [w]\,+\,{\cal H}_2 [w]\,\theta\... ..._1 [w]\right)_t\,-\,\kappa\,\Delta \theta\,&=&g (\theta, x, t)\,,\end{eqnarray}$

wobei $\,{\cal H}_1\,,\, {\cal H}_2\,,\, {\cal F}_1\,$ geeignete Hysterese-Operatoren sind. Motiviert wurde dieser Zugang dadurch, dass sich Modellierungen mit Hilfe von Variationsungleichungen, wie z.B. relaxierte Stefan-Probleme, auf die Form (6), (7) transformieren lassen (in diesem Zusammenhang stellt die Variable w eine Verallgemeinerung des so genannten freezing index dar). Dabei sorgt die vorausgesetzte (aber in praktischen Anwendungen tatsächlich gegebene) Dissipativität der Hysterese-Operatoren $\,{\cal H}_1\,,\, {\cal H}_2\,$ dafür, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in Form der Entropieungleichung und der Positivität der Temperatur erfüllt ist.

Es gelang im Berichtszeitraum, die in [5, 6, 7, 8] erzielten Resultate auf den Fall von Systemen mit mehreren Phasenfeldvariablen auszudehnen, das asymptotische Verhalten für $t\to\infty$ zu klären und Fälle einzubeziehen, in denen ein zusätzliches thermisches Gedächtnis vorliegt. Die Resultate sind in den Arbeiten [3, 9, 10] zusammengefasst.

Projektliteratur:

P. COLLI, M. FRéMOND, O. KLEIN, Global existence of a solution to a phase field model for supercooling , WIAS-Preprint No. 525, 1999, erscheint in: Nonlin. Anal. TMA.
M. FRéMOND, A macroscopic predictive theory of supercooling, in: Trends in Applications of Mathematics to Mechanics (M. M. Marques, J. F. Rodrigues, Hrsg.), Longman, 1995.
G. GILARDI, P. KREJCí, J. SPREKELS, A hysteresis approach to phase-field models with thermal memory , WIAS-Preprint No. 497, 1999, erscheint in: Math. Meth. Appl. Sci.
O. KLEIN, Two phase field systems modelling supercooling, erscheint in: Proceedings der Tagung ,,Free Boundary Problems: Theory and Applications (FBP'99)`` in Chiba, Japan, Gakkot $\bar{\mbox{\rm o}}$ sho, Tokyo.
P. KREJCí, J. SPREKELS, Hysteresis operators in phase-field models of Penrose-Fife type , Appl. Math., 43 (1998), pp. 207-222.
$\dito$ ,Hysteresis operators in phase-field models, in: Topics in Nonlinear Analysis - The Herbert Amann Anniversary Volume (J. Escher, G. Simonett, Hrsg.), Birkhäuser Verlag, Basel, 1999, pp. 499-516.
$\dito$ ,A hysteresis approach to phase-field models , Nonlin. Anal. TMA, 39 (2000), pp. 569-586.
$\dito$ ,Phase-field models with hysteresis , WIAS-Preprint No. 458, 1998, eingereicht.
$\dito$ ,Phase-field systems and vector hysteresis operators, erscheint in: Proceedings der Tagung ,,Free Boundary Problems: Theory and Applications (FBP'99)`` in Chiba, Japan, Gakkot $\bar{\mbox{\rm o}}$ sho, Tokyo.
P. KREJCí, J. SPREKELS, S. ZHENG, Asymptotic behaviour for a phase-field system with hysteresis , WIAS-Preprint No. 520, 1999, eingereicht.