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Globale Eigenschaften von Paardiffusionsmodellen

Bearbeiter: A. Glitzky , R. H�nlich  

Kooperation: W. Merz (Technische Universit�t M�nchen)

Förderung: DFG: ,,Analytische Untersuchungen von Elektro-Reaktions-Diffusionsgleichungen mit nichtglatten Daten``

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die im vergangenen Jahr begonnenen Untersuchungen zu Paardiffusionsmodellen  (vgl. [3]) wurden fortgesetzt, wobei jetzt auch spezielle F�lle von Heterostrukturen  diskutiert wurden. Wir betrachten m Spezies X_i, von denen nur die ersten l als diffundierend angenommen werden, und bezeichnen mit $\psi$ das chemische Potential der Elektronen, $p_i(\cdot,\psi)$ sind geeignet gew�hlte vom Ort und von $\psi$ abh�ngende Referenzdichten, die gem��

$$p_i(x,\psi)=p_{i0}(x)\mbox{e}^{-P_i(\psi)},~P_i(\psi)=\int_0^\psi Q_i(s)\,\mbox{d} s$$

mit den Ladungszahlen $Q_i(\psi)$ zusammenh�ngen. Da die Teilchendichten u_i der diffundierenden Spezies nun nicht mehr zu $H^1(\Omega)$ geh�ren (sie liegen lediglich im dualen Raum), werden die Gleichungen in den chemischen Aktivit�ten b_i=u_i/p_i0 formuliert, die weiterhin H¹-Gr��en sein sollen. Die Modellgleichungen enthalten m Kontinuit�tsgleichungen  gekoppelt mit einer nichtlinearen Poissongleichung  und sehen wie folgt aus:

$$\left. \begin{array} {rcll} \displaystyle\frac{\partial u_i}... ...ystyle \text{in } \Omega,~ i=1,\dots,m.\end{array}\quad\right\}$$ (1)

Dabei ist $\varepsilon$ die Dielektrizit�t, f eine fixierte Ladungsdichte, und $-e(\cdot,\psi)$ ist die Ladungsdichte der Elektronen und L�cher. F�r die ersten l Spezies (Punktdefekte und Dotand-Defekt-Paare) nehmen wir diffusiven und konvektiven Transport an, der durch den Stromausdruck

$$j_i=-D_i(\cdot,b,\psi)p_{i0}\big[\nabla b_i+Q_i(\psi)\, b_i\nabla\psi\big],~ i=1,\dots,l,$$

gegeben ist. Ein Beispiel f�r die $\psi$-Abh�ngigkeit der betrachteten Diffusionskoeffizienten D_i sowie der Ladungen Q_i ist f�r verschiedene Prozesstemperaturen in Abb. 1 dargestellt. In allen Kontinuit�tsgleichungen treten Volumenquellterme auf, die durch Reaktionen  der Form

$$\alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m\rightleftharpoons \beta_1X_1+\dots +\beta_mX_m$$

 

Abb. 1: Phosphor-Interstitial-Paare in Silizium: Diffusionskoeffizient (links) und Ladungszahl (rechts) als Funktion des chemischen Potentials $\psi$ bei verschiedenen Temperaturen (nach [1]).

entstehen, wobei $\alpha,\,\beta\in \IZ^m_+$die Vektoren der st�chiometrischen Koeffizienten bezeichnen. Die entsprechenden Reaktionsraten $R_{\alpha\beta}^\Omega$ lauten gem�� dem Massenwirkungsgesetz 

$$R_{\alpha\beta}^\Omega(x,b,\psi)= k^\Omega_{\alpha \beta}(x,... ...\Omega,~ b\in\IR^m_+,~\psi\in\IR,~ a_i=b_i\mbox{e}^{P_i(\psi)}.$$

Gemeint sind damit verschiedene Paarbildungs- und Generations-Rekombinationsreaktionen. F�r alle nicht diffundierenden Spezies X_i (Dotanden) wird die Existenz einer Reaktion der Form

$$R_{\alpha\beta}^\Omega=k^\Omega_{\alpha \beta} \big[\prod_{j=1}^l a_j^{\alpha_j}-a_i^2\big]$$ (2)

vorausgesetzt (Generation-Rekombination verschiedener Dotand-Defekt-Paare). Zwischen den diffundierenden Spezies X_i, $i=1,\dots,l$, k�nnen zus�tzlich Randreaktionen mit Reaktionsraten

$$R_{\alpha\beta}^\Gamma(x,b_1,\dots,b_l,\psi)= k^\Gamma_{\alp... ...1}^l a_i^{\beta_i}\Big],~ x\in\Gamma,~ b\in\IR^l_+,~\psi\in\IR,$$

auftreten. Die kinetischen Koeffizienten D_i, $k^\Omega_{\alpha \beta}$ und $k^\Gamma_{\alpha \beta}$hängen außer von $\psi$ noch vom Ort und vom Zustand selbst (beschrieben durch den Vektor $b=(b_1,\dots,b_m)$) ab.

Die in [3] benutzten Methoden zu energetischen Absch�tzungen  k�nnen f�r den betrachteten Fall von Heterostrukturen adaptiert werden, was auf die folgenden Resultate f�hrt: Das Problem (1) besitzt einen durch $\int_\Omega(u^*-U)\,\mbox{d}x\in \mbox{span}\{\alpha-\beta\}$eindeutig bestimmten station�ren Zustand $(u^*,b^*,\psi^*)$. Die freie Energie 

$$F(u)=\int\Big\{\frac{\varepsilon}{2}\vert\nabla\psi\vert^2+g... ...[\ln{\frac{u_i}{p_{i0}}}-1\big]+p_{i0}\big\}\Big\} \,\mbox{d}x,$$

wobei $g(\cdot,\psi)=e(\cdot,\psi)\psi-\int_0^\psi e(\cdot,s)\,\mbox{d}s$und $\psi$ die eindeutig bestimmte L�sung der Poissongleichung zu u ist, ist entlang von L�sungen von (1) beschr�nkt und f�llt monoton und exponentiell gegen ihren Gleichgewichtswert F(u^*). Diese energetischen Absch�tzungen bilden die Grundlage f�r weitere a priori-Absch�tzungen  f�r L�sungen von (1).

Unter der f�r Paardiffusionsmodelle erf�llten Voraussetzung, dass die Quellterme aus den Volumenreaktionen maximal zweiter Ordnung sind, haben wir im r�umlich zweidimensionalen Fall die Existenz globaler oberer Schranken f�r die Teilchendichten u_i nachgewiesen. Dazu werden zun�chst die $L^\infty(\IR_+,L^2(\Omega))$- und $L^\infty(\IR_+,L^4(\Omega))$-Normen der chemischen Aktivit�ten b_i abgesch�tzt. Hier verwenden wir die Voraussetzung (2) und Folgerungen aus dem exponentiellen Fallen der freien Energie entlang von L�sungen von (1), um die aus der Drift und den Reaktionen resultierenden Terme zu kontrollieren. Eine anschlie�ende Moser-Iteration  liefert f�r die diffundierenden Spezies globale obere Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten b_i und Teilchendichten u_i, mit deren Kenntnis schlie�lich auch die entsprechenden Schranken f�r die nicht diffundierenden Spezies gewonnen werden.

F�r strikt positive Anfangswerte haben wir globale positive untere Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten b_i und Teilchendichten u_i hergeleitet. Von der L�nge des Zeitintervalls abh�ngende Absch�tzungen $\Vert\ln{b_i}\Vert _{L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega))}\le c_T$sichern zun�chst die Zul�ssigkeit von Testfunktionen der Form

$$-\big(1-\frac{b_i^*}{b_i}\big)^-\mbox{ bzw. } -p\,\mbox{e}^t\frac{(\ln b_i+K)^{p-1}}{b_i},\quad p\ge 2,\quad K\ge 0.$$

Die erste Testfunktion f�hrt f�r $i=1,\dots,l$ auf $\Vert\ln{b_i}\Vert _{L^\infty(\IR_+;L^1(\Omega))}\le c$, mittels der zweiten Testfunktion und Moser-Iteration gelangen wir zu positiven globalen unteren Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten b_i, $i=1,\dots,l$.Hieraus k�nnen aufgrund der vorhandenen Reaktion (2) die entsprechenden Resultate f�r die nicht diffundierenden Spezies gewonnen werden.

Mit Hilfe der a priori-Absch�tzungen und des exponentiellen Fallens der freien Energie haben wir weitere Aussagen zum asymptotischen Verhalten  von L�sungen des Paardiffusionsmodells (1) erhalten. Insbesondere n�hern sich die Teilchendichten u_i, die chemischen Aktivit�ten b_i und das chemische Potential der Elektronen $\psi$ in jeder L^p-Norm exponentiell ihrem Gleichgewichtswert. Aufgrund von Regularit�tsaussagen f�r elliptische Gleichungen gilt die Asymptotik f�r $\psi$ auch in der $L^\infty$-Norm. F�r die ausf�hrliche Diskussion der hier vorgestellten Paardiffusionsmodelle verweisen wir auf [2].

Aussagen zur L�sbarkeit von (1) sind Gegenstand aktueller Untersuchungen, Resultate f�r den Fall einer homogenen glatt berandeten Struktur sind in [4] zu finden.

Projektliteratur:

1.  K. GHADERI, G. HOBLER, Simulation of phosphorus diffusion in silicon using a pair diffusion model with a reduced number of parameters, J. Electrochem. Soc., 142 (1995), pp. 1654-1658.
2.  A. GLITZKY, R. HÜNLICH, Global properties of pair diffusion models, in Vorbereitung.
3.  R. HÜNLICH, A. GLITZKY, On energy estimates for electro-diffusion equations arising in semiconductor technology, in: Partial differential equations. Theory and numerical solution (W. J�ger, J. Necas, O. John, K. Najzar, J. Stará, Hrsg.), Research Notes in Mathematics, 406, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2000, pp. 158-174.
4.  W. MERZ, A. GLITZKY, R. HÜNLICH, K. PULVERER, Strong solutions for pair diffusion models in homogeneous semiconductors, Preprint SFB-438-9921, SFB 438, TU M�nchen, Univ. Augsburg, 1999.

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