Bearbeiter: A. Glitzky
,
R. H�nlich
Kooperation: W. Merz (Technische Universit�t M�nchen)
Förderung: DFG: ,,Analytische Untersuchungen von
Elektro-Reaktions-Diffusionsgleichungen mit nichtglatten Daten``
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die im vergangenen Jahr begonnenen Untersuchungen zu
Paardiffusionsmodellen
(vgl. [3]) wurden fortgesetzt,
wobei jetzt auch spezielle F�lle von
Heterostrukturen diskutiert wurden.
Wir betrachten m Spezies Xi, von denen nur die ersten
l als diffundierend angenommen werden, und bezeichnen mit
das
chemische Potential der Elektronen,
sind geeignet gew�hlte
vom Ort und von
abh�ngende Referenzdichten, die
gem��

mit den Ladungszahlen
zusammenh�ngen.
Da die Teilchendichten ui der diffundierenden Spezies nun
nicht mehr zu
geh�ren (sie liegen lediglich im dualen Raum),
werden die Gleichungen in den chemischen Aktivit�ten bi=ui/pi0
formuliert,
die weiterhin H1-Gr��en sein sollen.
Die Modellgleichungen enthalten m
Kontinuit�tsgleichungen
gekoppelt mit einer nichtlinearen Poissongleichung
und sehen wie folgt aus:
|  |
(1) |
Dabei ist
die Dielektrizit�t, f eine fixierte Ladungsdichte,
und
ist die Ladungsdichte
der Elektronen und L�cher.
F�r die ersten l Spezies (Punktdefekte und Dotand-Defekt-Paare) nehmen wir
diffusiven und konvektiven Transport an, der durch den Stromausdruck
![\begin{displaymath}
j_i=-D_i(\cdot,b,\psi)p_{i0}\big[\nabla b_i+Q_i(\psi)\,
b_i\nabla\psi\big],~
i=1,\dots,l,\end{displaymath}](../1999/img57.gif)
gegeben ist. Ein Beispiel f�r
die
-Abh�ngigkeit der betrachteten
Diffusionskoeffizienten Di sowie der Ladungen Qi
ist f�r verschiedene Prozesstemperaturen in Abb. 1 dargestellt.
In allen Kontinuit�tsgleichungen treten Volumenquellterme auf, die durch
Reaktionen
der Form

Abb. 1:
Phosphor-Interstitial-Paare in Silizium:
Diffusionskoeffizient (links) und Ladungszahl (rechts) als Funktion des
chemischen Potentials
bei verschiedenen Temperaturen (nach
[1]).
 |
entstehen, wobei
die Vektoren der st�chiometrischen Koeffizienten bezeichnen.
Die entsprechenden Reaktionsraten
lauten
gem�� dem Massenwirkungsgesetz

Gemeint sind damit verschiedene Paarbildungs- und
Generations-Rekombinationsreaktionen.
F�r alle nicht diffundierenden Spezies Xi (Dotanden) wird die Existenz
einer Reaktion der Form
| ![\begin{displaymath}
R_{\alpha\beta}^\Omega=k^\Omega_{\alpha \beta}
\big[\prod_{j=1}^l a_j^{\alpha_j}-a_i^2\big]\end{displaymath}](../1999/img63.gif) |
(2) |
vorausgesetzt (Generation-Rekombination verschiedener Dotand-Defekt-Paare).
Zwischen den diffundierenden Spezies Xi,
, k�nnen
zus�tzlich Randreaktionen mit Reaktionsraten
![\begin{displaymath}
R_{\alpha\beta}^\Gamma(x,b_1,\dots,b_l,\psi)=
k^\Gamma_{\alp...
...1}^l a_i^{\beta_i}\Big],~
x\in\Gamma,~ b\in\IR^l_+,~\psi\in\IR,\end{displaymath}](../1999/img65.gif)
auftreten.
Die kinetischen Koeffizienten
Di,
und
hängen außer von
noch vom Ort und
vom Zustand selbst (beschrieben durch den Vektor
) ab.
Die in [3] benutzten Methoden zu
energetischen Absch�tzungen
k�nnen f�r den betrachteten Fall von Heterostrukturen adaptiert werden, was
auf die folgenden Resultate f�hrt: Das Problem (1) besitzt einen durch
eindeutig bestimmten station�ren Zustand
. Die
freie Energie
![\begin{displaymath}
F(u)=\int\Big\{\frac{\varepsilon}{2}\vert\nabla\psi\vert^2+g...
...[\ln{\frac{u_i}{p_{i0}}}-1\big]+p_{i0}\big\}\Big\}
\,\mbox{d}x,\end{displaymath}](../1999/img71.gif)
wobei
und
die eindeutig bestimmte L�sung der Poissongleichung zu u ist,
ist entlang von L�sungen von (1) beschr�nkt und f�llt monoton und
exponentiell gegen ihren Gleichgewichtswert F(u*). Diese energetischen
Absch�tzungen bilden die Grundlage f�r weitere
a priori-Absch�tzungen
f�r L�sungen von (1).
Unter der f�r Paardiffusionsmodelle erf�llten Voraussetzung, dass die
Quellterme
aus den Volumenreaktionen maximal zweiter Ordnung sind, haben wir im r�umlich
zweidimensionalen Fall
die Existenz globaler oberer Schranken f�r die Teilchendichten ui
nachgewiesen.
Dazu werden zun�chst die
- und
-Normen der chemischen Aktivit�ten bi
abgesch�tzt.
Hier verwenden wir die Voraussetzung (2) und Folgerungen aus dem
exponentiellen
Fallen der freien Energie entlang von L�sungen von (1), um die aus der
Drift und den Reaktionen resultierenden Terme zu kontrollieren.
Eine anschlie�ende Moser-Iteration liefert f�r die
diffundierenden Spezies
globale obere Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten bi und
Teilchendichten ui, mit deren Kenntnis schlie�lich auch die
entsprechenden Schranken f�r die nicht diffundierenden Spezies gewonnen
werden.
F�r strikt positive Anfangswerte haben wir globale positive
untere Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten bi und
Teilchendichten ui hergeleitet. Von der L�nge des
Zeitintervalls abh�ngende Absch�tzungen
sichern zun�chst die Zul�ssigkeit von Testfunktionen der Form

Die erste Testfunktion
f�hrt f�r
auf
, mittels der zweiten
Testfunktion und Moser-Iteration gelangen wir zu positiven globalen unteren
Schranken f�r die chemischen Aktivit�ten bi,
.Hieraus k�nnen aufgrund der vorhandenen Reaktion (2)
die entsprechenden Resultate f�r die nicht diffundierenden Spezies
gewonnen werden.
Mit Hilfe der a priori-Absch�tzungen und des exponentiellen Fallens der
freien Energie haben wir weitere Aussagen zum
asymptotischen Verhalten
von L�sungen des Paardiffusionsmodells (1)
erhalten. Insbesondere n�hern sich die Teilchendichten ui,
die chemischen Aktivit�ten bi und das chemische Potential der Elektronen
in jeder Lp-Norm exponentiell ihrem Gleichgewichtswert. Aufgrund von
Regularit�tsaussagen f�r elliptische Gleichungen gilt die Asymptotik
f�r
auch in der
-Norm. F�r die ausf�hrliche Diskussion
der hier vorgestellten Paardiffusionsmodelle
verweisen wir auf [2].
Aussagen zur L�sbarkeit von (1) sind Gegenstand aktueller Untersuchungen,
Resultate f�r den Fall einer homogenen glatt berandeten Struktur
sind in [4] zu finden.
Projektliteratur:
- K. GHADERI, G. HOBLER,
Simulation of phosphorus diffusion in silicon
using a pair diffusion model with a reduced number of parameters, J.
Electrochem. Soc., 142 (1995), pp. 1654-1658.
- A. GLITZKY, R. HÜNLICH,
Global properties of pair diffusion models, in Vorbereitung.
- R. HÜNLICH, A. GLITZKY, On energy estimates for
electro-diffusion
equations arising in semiconductor technology, in: Partial differential
equations. Theory and numerical solution (W. J�ger, J. Necas,
O. John, K. Najzar, J. Stará, Hrsg.), Research Notes
in Mathematics, 406, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton,
2000, pp. 158-174.
- W. MERZ, A. GLITZKY, R. HÜNLICH, K. PULVERER,
Strong solutions for
pair diffusion models in homogeneous semiconductors,
Preprint SFB-438-9921, SFB 438, TU M�nchen, Univ. Augsburg, 1999.
LaTeX typesetting by I. Bremer
1/16/2001