Modellierung, Simulation und Optimierung der Oberflächenhärtung

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Modellierung, Simulation und Optimierung der Oberflächenhärtung von Stahl

Bearbeiter: J. Fuhrmann (FG 3), D. Hömberg (FG 1), M. Uhle (FG 3)

Kooperation: O. Biró (Technische Universität Graz), A. Kost, L. Jänicke (Brandenburgische Technische Universität Cottbus), V. Arnautu (Universität Iasi), J. Soko $\l$ owski (Universität Nancy I), H.-J. Spies, A. Buchwalder (Technische Universität Freiberg)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die wissenschaftliche Arbeit konzentrierte sich im vergangenen Jahr auf zwei Schwerpunkte:

1. Numerische Simulation der induktiven Erwärmung

Quelle induktiver Erwärmung im Eisen sind mit Hilfe eines von hochfrequentem Wechselstrom durchflossenen Kupferinduktors induzierte Wirbelströme [3]. Da auch im Kupfer Stromverdrängung stattfindet, ist das Wirbelstromproblem sowohl im Induktor als auch im Werkstück zu simulieren. Zur Berechnung der Wirbelströme wird eine Vektorpotentialformulierung auf der Basis des magnetischen Vektorpotentials mit Coulomb-Eichung verwendet.

Es wurden Untersuchungen zur Diskretisierung dieser Gleichungen unter Verwendung stückweise linearer finiter Elemente vorgenommen. Der Schwerpunkt lag dabei auf dem Vergleich von Varianten zur Implementierung von Randbedingungen für das Vektorpotential.

Nach der Zeitdiskretisierung mit Hilfe des impliziten Eulerverfahrens und einigen algebraischen Umformungen erhält man in jedem Zeitschritt das lineare Gleichungssystem

$\left[ \begin{array} {cc} \displaystyle{ C_{AA} + \frac{1}{\Delta t} D_{AA}} ... ...rray}\right] ~=~ \left[ \begin{array} {c} g_{n} \ [2mm] 0 \end{array}\right]$ + $\left[ \begin{array} {cc} \displaystyle{\frac{1}{\Delta t}} D_{AA} & 0 \ [5m... ...ght] ~ \left[ \begin{array} {c} A_{n-1} \ [2mm] \Phi_{n-1}\end{array}\right].$

Hier bezeichnet A_n das ortsdiskrete Vektorpotential und $\Phi_n$ das ortsdiskrete elektrostatische Potential zum Zeitpunkt t_n.

Im Berichtszeitraum wurde an der Entwicklung von iterativen Lösungsverfahren für solche Systeme auf der Basis von vorkonditionierten CG-Verfahren gearbeitet. Zur Gewinnung von geeigneten Vorkonditionierern wurden Verfahren zur Zerlegung des Gleichungssystems in Untersysteme untersucht. Getestet wurden neben verschiedenen Varianten des Gauß-Seidel-Verfahrens auch 2-Ebenen-Verfahren mit approximiertem Schur-Komplement. Dabei hat sich gezeigt, daß Vorkonditionierer nach diesen Methoden wesentlich schneller konvergieren als symmetrische Gauß-Seidel-Verfahren.

Es entstand eine umfangreiche Software, die realistische Gitter (siehe Gittergenerierung mit LBG) im SimplexGrid2.0-Format einlesen kann, die Gleichungssysteme generiert und zur Testung der verschiedenen Löser für lineare Gleichungssysteme dient.

2. Optimierung von Wärmebehandlungen

Ausgehend von den bisher erzielten Resultaten für die Simulation und Optimierung des Randschichthärtens [2, 4, 5] konzentrierte sich die Arbeit im Berichtszeitraum auf zwei Bereiche: Strahlverfahren für die Randschichtbearbeitung und Optimal Shape Design für Induktoren.

Für die Gewinnung der im Bereich der Kurzzeitmetallurgie teilweise noch unbekannten Materialparameter wurde eine Kooperation mit dem Institut für Werkstofftechnik der Technischen Universität Bergakademie Freiberg begonnen. Ein gemeinsamer Forschungsantrag zum Thema ,,Numerische Simulation von Temperaturfeldern bei der Strahlbearbeitung von kompliziert geformten Bauteilen`` wurde bei der Stiftung Industrieforschung eingereicht und befindet sich zur Zeit in Begutachtung.

Die in [5] entwickelten notwendigen Optimalitätsbedingungen wurden in [1] umformuliert und so modifiziert, daß sie einer numerischen Behandlung zugänglich sind. Unterstützt durch ein DFG-Reisestipendium für V. Arnautu soll im nächsten Jahr ein numerischer Algorithmus für die optimale Steuerung entwickelt und implementiert werden.

Für das optimale Induktordesign wurden während eines Arbeitsaufenthalts an der Universität Nancy I erste Resultate erzielt. Grundlegende Idee ist es, den Induktor durch eine Raumkurve als Röhre überall gleichen Querschnitts zu charakterisieren.

Zur Beschreibung der Gebietsvariation wurde die ,,Speed-Method`` verwendet. Stabilität und Differenzierbarkeit bezüglich Gebietsvariationen und die Existenz eines optimalen Designs konnten nachgewiesen werden [6]. Die nächsten Ziele sind die Charakterisierung des optimalen Designs in Abhängigkeit von Variationen der Raumkurve sowie die Entwicklung eines numerischen Verfahrens.

Projektliteratur:

V. ARNAUTU, D. HÖMBERG, J. Soko $\l$ owski, On a laser hardening problem, erscheint in: An. St. Univ. Ovidius Constanta.
J. FUHRMANN, D. HÖMBERG, Numerical simulation of surface heat treatments, erscheint in: Internat. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow.
J. FUHRMANN, D. HÖMBERG, M. UHLE, Numerical simulation of induction hardening of steel, in: Proceedings of the 8th International IGTE Symposium on Numerical Field Calculation in Electrical Engineering and TEAM Workshop (K. R. Richter, Hrsg.), Vol. II, Department of Fundamentals and Theory in Electrical Engineering, Technical University of Graz, September 21-24, 1998, pp. 426-431.
J. FUHRMANN, D. HÖMBERG, J. Soko $\l$ owski, Modeling, simulation and control of laser heat treatments, erscheint in: Proceedings of International Conference on Control of Partial Differential Equations, Chemnitz, 20.-24.4.1998.
D. HÖMBERG, J. Soko $\l$ owski, Optimal control of laser hardening, Adv. Math. Sci. Appl., 8 (1998), pp. 911-928.
$\dito$ , Optimal shape design of inductor coils for surface hardening, in Vorbereitung.