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Analysis und Implementierung von Finite-Volumen-Verfahren für nichtlineare Erhaltungsgleichungen

Bearbeiter: J. Fuhrmann (FG 3), H. Langmach (FG 3), K. Gärtner (FG 7)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Auf der Grundlage der Perron-Frobenius-Theorie nichtnegativer Matrizen konnten neue Resultate zur Existenz und Einzigkeit von Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme mit außerdiagonaler Nichtlinearität erzielt werden. Diese Ergebnisse lassen sich auf zeitimplizite Finite-Volumen-Diskretisierungen von skalaren nichtlinearen Erhaltungsgleichungen der Art

$\begin{displaymath} \begin{split} \partial_t b(x,u) + \nabla\cdot \mbox{\bf j}(... ... j}(x,u) = -k(x,u)\nabla u + &\mbox{\bf q}(x,u)\ \end{split} \end{displaymath}$

mit stückweise konstanten Ortsabhängigkeiten anwenden. Weiterhin lassen sich mit Hilfe dieser Methode Aussagen zu Stabilität und Maximumprinzipien für die diskreten Gleichungen ableiten.

Anwendungen dieser Resultate finden sich beim gesättigt/ungesättigten Fluidtransport und bei nichtlinearen Wärmeleitprozessen.

Auf der Grundlage struktureller Überlegungen zur Darstellung der diskreten nichtlinearen Operatoren ist es möglich, die numerischen Verfahren auf Systeme vom Typ

$\begin{displaymath} \begin{split} \partial_t b_l(x,u_1\dots u_\nu) + \nabla\cd... ...nabla u_l + &\mbox{\bf q}_l(x,u_1\dots u_\nu)\ \end{split} \end{displaymath}$

aus k Gleichungen in ein-, zwei- und dreidimensionalen Gebieten zu verallgemeinern. Der entsprechende Code - pdelib/sysconlaw - ist inzwischen Ausgangspunkt für die Anwendungsprojekte ,,Simulation des gekoppelten Wärme- und Fluidtransports`` und ,,Zweiphasenströmungen in porösen Medien``.

**Abb. 1:** Stabile (links) und instabile (rechts) Diskretisierung des gesättigt/ungesättigten Grundwasserflusses
$\makeatletter \@ZweiProjektbilderNocap[h]{0.3\textwidth}{fv-1.eps}{fv-2.eps} \makeatother$

Projektliteratur:

J. FUHRMANN, Existence and uniqueness of solutions of certain systems of algebraic equations with off diagonal nonlinearity, WIAS-Preprint No. 425, 1998.
J. FUHRMANN, H. LANGMACH, Stability of solutions of time-implicit finite volume schemes for viscous nonlinear conservation laws, WIAS-Preprint No. 437, 1998.