Bearbeiter: J. Fuhrmann
(FG 3),
H. Langmach
(FG 3),
K. Gärtner
(FG 7)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Auf der Grundlage der Perron-Frobenius-Theorie nichtnegativer Matrizen
konnten neue Resultate zur Existenz und Einzigkeit von Lösungen
nichtlinearer Gleichungssysteme mit außerdiagonaler Nichtlinearität
erzielt werden. Diese Ergebnisse lassen sich auf zeitimplizite
Finite-Volumen-Diskretisierungen von skalaren nichtlinearen
Erhaltungsgleichungen der Art
![\begin{displaymath}
\begin{split}
\partial_t b(x,u) + \nabla\cdot \mbox{\bf j}(...
... j}(x,u) = -k(x,u)\nabla u + &\mbox{\bf q}(x,u)\ \end{split} \end{displaymath}](../../1998/html/images/img416.gif)
mit stückweise konstanten Ortsabhängigkeiten anwenden. Weiterhin
lassen sich mit Hilfe dieser Methode Aussagen zu Stabilität und
Maximumprinzipien für die diskreten Gleichungen ableiten.
Anwendungen dieser Resultate finden sich beim gesättigt/ungesättigten
Fluidtransport
und bei
nichtlinearen Wärmeleitprozessen.
Auf der Grundlage struktureller Überlegungen zur Darstellung der
diskreten nichtlinearen Operatoren ist es möglich, die numerischen
Verfahren auf Systeme vom Typ
![\begin{displaymath}
\begin{split}
\partial_t b_l(x,u_1\dots u_\nu) +
\nabla\cd...
...nabla u_l +
&\mbox{\bf q}_l(x,u_1\dots u_\nu)\ \end{split} \end{displaymath}](../../1998/html/images/img417.gif)
aus k Gleichungen in ein-, zwei- und dreidimensionalen Gebieten zu
verallgemeinern. Der entsprechende Code -
pdelib/sysconlaw
-
ist inzwischen Ausgangspunkt
für die Anwendungsprojekte
,,Simulation des gekoppelten Wärme- und Fluidtransports`` und
,,Zweiphasenströmungen in porösen Medien``.
Abb. 1:
Stabile (links) und instabile (rechts) Diskretisierung des
gesättigt/ungesättigten Grundwasserflusses
![\makeatletter
\@ZweiProjektbilderNocap[h]{0.3\textwidth}{fv-1.eps}{fv-2.eps}
\makeatother](../../1998/html/images/img418.gif) |
Projektliteratur:
- J. FUHRMANN, Existence and uniqueness of solutions of certain
systems of algebraic equations with off diagonal nonlinearity,
WIAS-Preprint No. 425, 1998.
- J. FUHRMANN, H. LANGMACH, Stability of solutions of
time-implicit finite volume schemes for viscous nonlinear conservation laws,
WIAS-Preprint No. 437, 1998.
LaTeX typesetting by I. Bremer
7/30/1999