Mikromechanik und Molekulare Dynamik

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Anfangs- und Randwertprobleme f�r hyperbolische Systeme

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Mikromechanik und Molekulare Dynamik

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik

Kooperation: W. H. M�ller (Heriot-Watt-Universit�t Edinburgh), T. Hauck (Motorola M�nchen)

Beschreibung der Forschungsarbeit:Die Molekulare Dynamik geht aus von der Formulierung der Dynamik von Mikroteilchen und leitet durch Mittelwertbildung die makroskopischen Gesetze des aus diesen Mikroteilchen zusammengesetzten K�rpers ab. Unter Mikroteilchen verstehen wir die kleinsten Einheiten, die zum Verst�ndnis gewisser makroskopischer Ph�nomene betrachtet werden m�ssen. Viele Fragestellungen in unseren laufenden Projekten erfordern mikromechanische Betrachtungen. Hierzu geh�ren beispielsweise:

In Phasenfeldtheorien ist die Kopplung zwischen Diffusion und den hierdurch erzeugten Spannungen auf der makroskopischen Ebene ein nicht g�nzlich verstandenes Ph�nomen. Zur Kl�rung leiten wir die freie Energie molekulardynamisch ab.
Die makroskopische Modellierung von Phasengrenzfl�chen erfordert in deren Umgebung ein mikromechanisches Studium des Spannungs/Dehnungs-Zusammenhanges.
Anfangs- und Randwertprobleme f�r hochgradig nichtlineare hyperbolische Systeme lassen sich durch einfache Integrationen l�sen, falls es gelingt, die betrachteten Systeme mittels kinetischer Gleichungen herzuleiten. Makroskopische hyperbolische Systeme lassen sich aber auch molekulardynamisch generieren, weshalb wir versuchen, die kinetische Dreyer/Kunik-Methode auch molekulardynamisch zu etablieren.

Zur Illustration betrachten wir einen eindimensionalen Festk�rper, der aus einer Kette von Atomen aufgebaut ist. Die Atome mit Orten $x^{\alpha }(t)$ und Geschwindigkeiten $\dot{x}^{\alpha }(t),$ $\alpha =1,2,...,N$ , gen�gen den Newtonschen Bewegungsgleichungen

$\begin{displaymath} m\ddot{x}^{\alpha }(t)=-\sum\limits_{\beta \neq \alpha} \fra... ...ert x^{\beta }-x^{\alpha }\vert\right) }{\partial x^{\alpha }},\end{displaymath}$ (28)

wo m die Masse eines Atoms ist, und $\varphi \left( \vert x^{\beta }-x^{\alpha }\vert\right)$ das Potential bezeichnet, welches zwischen den Atomen $\beta$ und $\alpha$ besteht. Aus den Newtonschen Gleichungen lassen sich unter gewissen Annahmen Feldgleichungen f�r die Makrovariablen $\rho \left( t,x\right)$ - Massendichte und $\mbox{\sl v} \left( t,x\right)$ - Geschwindigkeit ableiten, n�mlich

$\begin{displaymath} \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \rho \mbox{... ...{2}-\varphi ^{\prime }\left( \frac{m}{\rho }\right) \right) =0.\end{displaymath}$ (29)

Dies ist ein hyperbolisches System, falls $\varphi ^{\prime \prime }\gt$ gilt. Die G�te der gemachten Annahmen, die zu (2) f�hren, l��t sich nun dadurch testen, da� wir ein Anfangswertproblem sowohl mit (1) als auch mit (2) l�sen. Wir betrachten ein Riemannsches Anfangswertproblem mit $\rho =1$ und $\mbox{\sl v}=0$ f�r x<0 und f�r $x\geq 0$ w�hlen wir $\rho =1.5$ und berechnen $\mbox{\sl v}$ aus der (2) zugeordneten Rankine-Hugoniot-Beziehung, so da� ein einzelner Sto� entsteht.

$\parbox{0.4\textwidth}{\begin{figure} \ProjektEPSbildNocap {\textwidth}{stoss.eps} \end{figure}}$ Die nebenstehende Abbildung zeigt das Dichtefeld, so wie es aus den Newtonschen Gleichungen f�r N=10000 Atome folgt. W�rden nun die gemachten Annahmen, die im wesentlichen die thermischen Schwankungen vernachl�ssigen, f�r dieses Anfangswertproblem angemessen sein, dann m��te nach (2) das gleiche Bild herauskommen. Das tut es nicht, denn das System (2) liefert einen Einzelsto�, der in die obere rechte Ecke einm�ndet. Dies Beispiel zeigt somit eindrucksvoll, wie die G�te ph�nomenologischer Annahmen mittels Molekulardynamik beurteilt werden kann. Inzwischen wurde das System (2) durch Ber�cksichtigung der Temperatur verallgemeinert. Ein WIAS-Preprint hierzu ist in Vorbereitung.