Stochastische Teilchensysteme und Approximation der Boltzmann-Gleichung

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Stochastische Teilchensysteme und Approximation der Boltzmann-Gleichung

Bearbeiter: W. Wagner

Kooperation: M. Pulvirenti (Università di Roma ,,La Sapienza``, Rom), S. Rjasanow (Universität des Saarlandes, Saarbrücken)

Förderung: Volkswagen-Stiftung (RiP-Programm Oberwolfach)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In wichtigen Anwendungsbereichen wie Raumfahrt oder Vakuumtechnologie erfolgt die mathematische Beschreibung der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse mittels hochdimensionaler und in der Regel nichtlinearer Integrodifferentialgleichungen. Ein typisches Beispiel einer solchen Gleichung, die Boltzmann-Gleichung aus der kinetischen Gastheorie, besitzt die Form

$\begin{eqnarray} \lefteqn{ \frac{\partial}{\partial t}\, f(t,x,v) + \mbox{\bf{... ... \Big[f(t,x,v^*)\,f(t,x,w^*)-f(t,x,v)\,f(t,x,w)\Big]\,, \nonumber \end{eqnarray}$

mit

$\begin{eqnarray} v^*=v+e\,\mbox{\bf{(}}e,w-v\mbox{\bf{)}}\,, \quad w^*=w+e\,\mbox{\bf{(}}e,v-w\mbox{\bf{)}}\,.\end{eqnarray}$

Hier beschreibt die Funktion f(t,x,v) die Konzentration von Teilchen mit der Geschwindigkeit v am Ort x zur Zeit $t\,.$ Die Gleichung (1) besitzt eine quadratische Nichtlinearität, die sich aus der paarweisen elementaren Wechselwirkung ergibt. Diese besteht darin, daß bei der ,,Kollision`` zweier Teilchen sich ihre Geschwindigkeiten entsprechend (2) ändern, wobei ${\cal S}^2$ die Einheitssphäre ist und B der Kollisionskern genannt wird.

Auf Grund der hohen Dimension (f ist eine Funktion von sieben Veränderlichen) spielen stochastische Teilchensysteme nicht nur bei der theoretischen Fundierung, sondern insbesondere bei der numerischen Behandlung der Gleichung (1) eine entscheidende Rolle. Stochastische Partikelverfahren beruhen auf der Simulation eines geeigneten großen $(n\sim 10^6-10^7)$ Teilchensystems

$\begin{eqnarray} \Big(x_i(t),v_i(t)\Big)\,, \quad i=1,\ldots,n\,,\quad t\ge 0\,, \nonumber\end{eqnarray}$

mit dessen Hilfe das Verhalten des realen Gases approximiert wird. Hier bezeichnen $x_i(t)\!\in\! D\!\subset\!{\cal R}^3$ und $v_i(t)\!\in\!{\cal R}^3$ jeweils die Position und die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens zur Zeit $t\,.$ Bei der numerischen Behandlung kinetischer Gleichungen mittels stochastischer Partikelverfahren treten Fluktuationen auf, d. h. die zu berechnenden Werte werden durch zufällige Schwankungen überlagert. Deshalb besteht in vielen Anwendungsbereichen, wie z. B. bei der Berechnung makroskopischer Größen hinter einem umströmten Körper oder bei Einströmvorgängen in ein Vakuum, ein wichtiges Problem in der Konstruktion von Verfahren mit reduzierten Fluktuationen. In den Arbeiten [3], [2] wurde ein neuartiger, auf einem verallgemeinerten Wechselwirkungsmechanismus basierender Zugang zu diesem Problem der Varianzreduktion entwickelt. In [1] wurden erste wichtige Ergebnisse zu dem für praktische Anwendungen äußerst relevanten Problem der Approximation stationärer Lösungen der Boltzmann-Gleichung (1) erzielt.

Eine wichtige Komponente der stochastischen Partikelverfahren für die Boltzmann-Gleichung ist der sogenannte Zeitzählmechanismus, durch welchen die auf einem gegebenen Zeitintervall notwendige Anzahl von Kollisionen bestimmt wird. In der Arbeit [4] wurden für das DSMC-Verfahren verschiedene neue Zeitzählmechanismen entwickelt und numerisch getestet. Ein besonders interessantes Ergebnis wurde in der Arbeit [5] erzielt. Mit Hilfe von auf der lokalen Temperatur in den Simulationszellen basierenden Abschätzungen wurde ein Zeitzählmechanismus entwickelt, der den bisher vorhandenen cutoff-Fehler bei hohen Geschwindigkeiten vermeidet. Darüber hinaus können die Zeitschritte zwischen den einzelnen Kollisionen wesentlich größer gewählt werden. Zusammen mit neu entwickelten effizienten Algorithmen zur Generierung der Index-Verteilung führt dies zu einer erheblichen Reduzierung der Rechenzeit. Insgesamt bewirken die neuen Resultate eine stabilere Arbeit des Verfahrens in Situationen, in denen sogenannte ,,seltene`` Ereignisse (z. B. ein einzelnes Teilchen mit sehr hoher Geschwindigkeit) eine Rolle spielen. Insofern ordnen sich auch diese Ergebnisse in das oben beschriebene Problem der Varianzreduktion ein.

Projektliteratur:

S. CAPRINO, M. PULVIRENTI, W. WAGNER, Stationary particle systems approximating stationary solutions to the Boltzmann equation, SIAM J. Math. Anal., 29 (1998), No. 4, pp. 913-934.
S. RJASANOW, T. SCHREIBER, W. WAGNER, Reduction of the number of particles in the stochastic weighted particle method for the Boltzmann equation, J. Comput. Phys., 145 (1998), No. 1, pp. 382-405.
S. RJASANOW, W. WAGNER, A generalized collision mechanism for stochastic particle schemes approximating Boltzmann type equations, Comput. Math. Appl., 35 (1998), No. 1/2, pp. 165-178.
$\dito$ ,On time counting procedures in the DSMC method for rarefied gases, Math. Comput. Simulation, 48 (1998), No. 2, pp. 153-178.
$\dito$ ,A temperature time counter scheme for the Boltzmann equation, WIAS-Preprint No. 399, 1998.