Kontinuum-Stepping-Stone-Modelle

[Next]:

Turbulente Verbrennung und numerische Lösung der

[Up]:

Projektbeschreibungen

[Previous]:

Katalytische Verzweigungsstrukturen

[Contents]

[Index]

Kontinuum-Stepping-Stone-Modelle

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: P. Donelly (Oxford University, Oxford), S. N. Evans (University of California at Berkeley, Berkeley), T. G. Kurtz (University of Wisconsin-Madison, Madison), X. Zhou (University of California at Berkeley, Berkeley)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Kontinuum-Stepping-Stone-Modelle kommen aus der Populationsgenetik, im Diffusionslimes sind dies wechselwirkende Fisher-Wright-Diffusionen und beim Übergang zu unendlich vielen Typen schließlich wechselwirkende Fleming-Viot-Prozesse. Beim Studium ihres Clusterverhaltens benutzt man zwangsläufig Skalierungen, die den Rahmen dieser Modelle ,,sprengen``, da der Indexraum abzählbar ist. In [2] wurde deshalb eine Kontinuumsversion solcher Prozesse konstruiert, und zwar über eine Dualität zu verschmelzenden Lévy-Prozessen. Das Studium derartiger Prozesse wurde weiter durch [3] vorangetrieben. Dort wurde als eine der offenen Fragen herausgestellt, hinreichende Bedingungen an den Migrationsprozeß zu postulieren, die den Nachweis der Existenz stetiger Pfade gestatten.

Dies ist jetzt unter ziemlich allgemeinen Bedingungen gelungen [1]. Dabei wurde das Kontinuum-Stepping-Stone-Modell als Limes gewisser wechselwirkender Teilchensysteme gewonnen. Der Fall eines Brownschen Migrationsprozesses auf dem Einheitskreis ist mit Hilfe einer Dualitätsbeziehung zwischen verschmelzenden und annihilierenden Brownschen Bewegungen detailliert studiert. Mit Hilfe dieser Dualität wurde auch gezeigt, daß ein zu einer unendlichen Familie von verschmelzenden Brownschen Bewegungen in natürlicher Weise assoziierter zufälliger kompakter metrischer Raum die Hausdorff- und Packing-Dimension fast sicher $\frac{1}{2}$ hat. Darüber hinaus ist dieser Raum kapazitätsinvariant zur Mitte- $\frac{1}{2}$ -Cantor-Menge (und damit auch zur Brownschen Null-Schnitt-Menge).

Projektliteratur:

P. DONELLY, S. N. EVANS, K. FLEISCHMANN, T.G. KURTZ, X. ZHOU, Continuum-sites stepping-stone models, coalescing exchangeable partitions, and random trees, WIAS-Preprint No. 451, 1998.
S. N. EVANS, K. FLEISCHMANN, Cluster formation in a stepping stone model with continuous, hierarchically structured sites, Ann. Probab., 24 (1998), No. 4, pp. 1926-1952.
S. N. EVANS, Coalescing Markov labelled partitions and a continuous sites genetic model with infinitely many types, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 33 (1998), pp. 339-358.