Katalytische Verzweigungsstrukturen

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Katalytische Verzweigungsstrukturen

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: D. A. Dawson (The Fields Institute, Toronto), J.-F. Delmas (ENCPC-CERMICS, Marne La Vallée), A. M. Etheridge (Oxford University, Oxford), A. Klenke (Universität Erlangen-Nürnberg), M. A. Kouritzin (University of Alberta, Edmonton), C. Mueller (University of Rochester, Rochester), V. A. Vatutin (Steklov Mathematical Institute, Moskau)

Förderung: DFG-Programm ,,Interagierende stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit: Eine detaillierte Beschreibung der Motivation für dieses Forschungsgebiet ist im Jahresforschungsbericht 1995, S. 133, zu finden. In diesem Berichtsjahr wurde die Untersuchung des stetigen Super-Brownschen Reaktanten $X^{\varrho}\,$ mit einem Super-Brownschen Katalysator $\varrho\,$ fortgesetzt . Dies beschreibt zwei ,,Populationen`` von Substanzen, Katalysator und Reaktant genannt, deren infinitesimale Bestandteile sich chaotisch bewegen (unabhängige Brownsche Bewegungen) und sich kritisch binär verzweigen (wachsen oder sterben). Der Katalysator entwickelt sich dabei autonom, während der Reaktant durch den Katalysator beeinflußt wird: Die momentane lokale Verzweigungsrate des Reaktanten ist proportional zu der momentanen lokalen Katalysator-,,Intensität``.

In Vertiefung von L²-Methoden aus [3] wurden erste Ergebnisse zu den in Simulationen sichtbaren ,,Hitzeflecken`` (siehe die Abbildung im Jahresforschungsbericht 1997, S. 87) erzielt ([2]). Sie entstehen an den Grenz-,,Flächen`` zwischen Katalysator und Reaktant. Unser Zugang hierzu besteht darin, die Kollisionslokalzeit zwischen Katalysator und Reaktant rigoros zu begründen. Sie existiert nichttrivial in Dimensionen $\,d\leq3.$ Diese Kollisionslokalzeit wird außerdem für die Beschreibung des Kovarianzmaßes im Martingalproblem von $\,X^{\varrho}$ benötigt. Im Zweidimensionalen existieren räumliche Rand-Kollisions-Dichten, und über eine Selbstähnlichkeitseigenschaft erscheinen sie als Faktor im Langzeit-Zufalls-Ergoden-Grenzwert (Diffusivität des zweidimensionalen Modells).

Zum anderen wurden hinreichende Kriterien für das Aussterben von katalytischen Verzweigungsprozessen in endlicher Zeit etabliert [1], [4]. Dies betrifft super-Brownsche Bewegungen in katalytischen Medien, die stabil, ,,parabolisch`` oder unabhängig in jedem Punkt sind. Dazu wurde eine Methode der guten und schlechten historischen Reaktantenpfade entwickelt. Gute Pfade kollidieren signifikant mit dem Katalysator, und das Aussterben folgt über eine individuelle Zeittransformation in Abhängigkeit von der Kollisionslokalzeit und einem Vergleich mit der Fellerschen Verzweigungsdiffusion. Schlechte Pfade haben eine kleine erwartete Masse, die sich durch die Treffwahrscheinlichkeit des Katalysators und der zugehörigen Lokalzeit kontrollieren läßt.

Schließlich wurden zum vertieften Verständnis der Familienstruktur Abweichungen von typischen Typenproportionen in kritischen Galton-Watson-Prozessen untersucht [5]. Es gelang unter einer verfeinerten Normierung, auch im Falle unendlicher zweiter Momente nichttriviale Grenzpopulationen nachzuweisen.

Projektliteratur:

D. A. DAWSON, K. FLEISCHMANN, C. MUELLER, Finite time extinction of super-Brownian motions with catalysts, WIAS-Preprint No. 431, 1998.
J.-F. DELMAS, K. FLEISCHMANN, On the hot spots of a catalytic super-Brownian motion, WIAS-Preprint No. 450, 1998.
K. FLEISCHMANN, A. KLENKE, Smooth density field of catalytic super-Brownian motion, WIAS-Preprint No. 331, 1997, erscheint in: Ann. Appl. Probab., 1999.
K. FLEISCHMANN, C. MUELLER, Finite time extinction of catalytic branching processes, Preprint Univ. Rochester (1998).
K. FLEISCHMANN, V. A. VATUTIN, Deviations from typical type proportions in critical multitype Galton-Watson processes, WIAS-Preprint No. 455, 1998.