Stochastische Dynamik ungeordneter Mean-Field-Modelle

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Stochastische Dynamik ungeordneter Mean-Field-Modelle

Bearbeiter: A. Bovier

Kooperation: V. Gayrard (CPT-Marseille), M. Klein (Universit�t Potsdam), M. Eckhoff (Universit�t Potsdam)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Zu den interessantesten Fragen in der Theorie ungeordneter Systeme zählt die nach dem Langzeitverhalten der zugehörigen Dynamiken. So ist etwa im Hopfieldmodell die Funktion als autoassoziativer Speicher eine Eigenschaft der Dynamik; die von uns bisher betriebene Untersuchung der Gleichgewichtsthermodynamik ist insofern nur ein erster Schritt in Richtung auf ein vollständiges Verständnis solcher Systeme. In diesem Jahr konnten nun erstmals wesentliche Resultate zur Dynamik solcher Systeme erzielt werden [1]. Diese stellen allerdings nur einen ersten Schritt im Rahmen eines weitgefaßten Projektes zu dieser Problematik dar.

Untersucht wurden eine Klasse von zeitdiskreten reversiblen Markov-Prozessen auf Gittern $\Gamma_N\subset {\Bbb R}^d$ mit Gitterabstand 1/N; die Übergangsraten zwischen Gitternachbarn sind so gewählt, daß der Prozess reversibel bezüglich eines invarianten Maßes $Q_N(x)=\exp(-NF_N(x))$ ist. In den Anwendungen wird Q_N das vom Gibbs-Maß auf den makroskopischen Variablen induzierte Maß sein. Wichtig ist, daß F_N neben einem deterministischen Anteil einen kleinen fluktuierenden Anteil haben kann, etwa $F_N(x) \sim F(x)+N^{-1/2} f(x)$ mit F(x) deterministisch und f(x) zufällig. Ein wesentliches Ziel ist es, den Einfluß der kleinen zufälligen Korrektur f auf die Dynamik zu kontrollieren. Für den Fall $d<\infty$ sowie unter einigen Annahmen an F_N und insbesondere an die Struktur der lokalen Minima dieser Funktionen konnten sehr scharfe Abschätzungen an die (exponentiell großen) metastabilen Zeitskalen (= mittlere Übergangszeiten zwischen lokalen Minima) erhalten werden. Darüber hinaus wurde der asymptotisch exponentielle Charakter der Verteilung spezieller Übergangszeiten mit scharfen oberen und unteren Schranken bewiesen. Damit wird für diese Dynamiken eine pr�zise Übersetzung thermodynamischer Resultate zu Aussagen �ber das Langzeitverhalten möglich. Als explizites Beispiel wurde ein Curie-Weiss-Modell mit zufälligem Magnetfeld behandelt.

Technisch benutzen die Beweise an einigen Stellen Resultate zu den großen Abweichungen im Pfadraum unserer Prozesse. Diese wurden separat [2] und in wesentlich größerer Allgemeinheit für eine große Klasse von Markovprozessen bewiesen. Insbesondere wurden diese auch für nicht reversible und nicht stationäre Prozesse gezeigt. Letzteres ist insbesondere von Interesse, da damit die Untersuchung von Hysteresephänomenen in ungeordneten Systemen möglich wird, die in der Zukunft ebenfalls untersucht werden sollen.

Projektliteratur:

A. BOVIER, M. ECKHOFF, V. GAYRARD, M. KLEIN, Metastability in stochastic dynamics of disordered mean-field models, WIAS-Preprint No. 416, 1998, eingereicht bei: Probab. Theory Related Fields (1998).
A. BOVIER, V. GAYRARD, Sample path large deviations for Markov processes with slowly varying transition probabilities, in Vorbereitung.