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A. Rathsfeld
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J. Schult
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Bearbeiter: S. Prößdorf
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A. Rathsfeld
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J. Schult
Kooperation: W. Keller (Geodätisches Institut der Universität Stuttgart)
Förderung: DFG-Projekt ,,Adaptive Multiskalenmethoden``
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In theoretischen Untersuchungen sowie in numerischen Tests hat es sich erwiesen, daß Waveletalgorithmen für die numerische Lösung von Integralgleichungen zu einer erheblichen Reduzierung von Speicherplatz und Rechenzeit führen.
Zur Frage, welcher Algorithmus und welche Waveletfunktionen für welche Gleichungen am besten geeignet sind, wird es sicher in der nächsten Zeit noch viele Entwicklungen und Ergebnisse geben. Ein natürlicher Weg zur Konstruktion von geeigneten Waveletfunktionen führt dabei zu den Multiwavelets , d. h. zu Funktionenräumen, die durch die Shifts von mehreren Formfunktionen erzeugt werden. Beispiele solcher Funktionen sind u. a. im Zusammenhang mit Randintegralgleichungen in [1, 2] betrachtet worden. In der erfolgreich abgeschlossenen Dissertation [3] und der Arbeit [4] werden Stabilitäts- , Konvergenz- und Kompressionsresultate für allgemeine Galerkin-Petrov-Diskretisierungen mit allgemeinen Multiwaveletfunktionen bewiesen. Insbesondere ist die Nichtentartung einer matrixwertigen Symbolfunktion das entscheidende Stabilitätskriterium. Dieses sogenannte numerische Symbol ergibt sich aus einer Reihenentwicklung, die sich im allgemeinen nicht zusammenfassen läßt und deshalb numerisch ausgewertet werden muß. Für einige Spezialfälle von Kollokationsmethoden mit nichtglattesten Splines wurde das Symbol ausgewertet und ein explizites Stabilitätskriterium aufgestellt. Diese Resultate gelten zwar zuerst für Integralgleichungen über glatten Randkurven, die vorgestellte Technik läßt aber auch Schlußfolgerungen für den komplizierteren Fall von höherdimensionalen Randmannigfaltigkeiten zu.
In [5] wurde eine spezielle Multiwaveletbasis für stetige und stückweise lineare Ansatzräume eingeführt und die Stabilität (Riesz-Eigenschaft) in einer bestimmten Sobolevskala gezeigt. Dieses System ist eine Weiterentwicklung der hierarchischen Dreipunktbasis [8, 9]. Im Gegensatz zu den recht allgemeinen Konstruktionen in [6, 7] zeichnet sie sich durch minimale Träger aus. Diese Minimalität ist für die Kompression und den schnellen Quadraturalgorithmus entscheidend. Obwohl die neuen Basisfunktionen an den Schnittstellen von verschiedenen Parametrisierungen unter Verlust der Momentenbedingung modifiziert sind, lassen sich trotzdem die gewohnten optimalen Kompressionsresultate ableiten. Für das entsprechende Waveletverfahren wurde in [5] ein neuer Quadraturalgorithmus entwickelt, der die Produktintegration mit dem Einsatz von Gauß-Quadraturformeln kombiniert und erstmalig eine fast optimale Komplexitätsabschätzung unter minimalen Glattheitsvoraussetzungen gestattet. Entscheidend für die Quadratur ist auch die lokale Approximation der Geometrie der Randfläche, die an den Kompressionsalgorithmus angepaßt ist. Für den Waveletalgorithmus, der Kompression, Quadratur und Approximation der Geometrie einschließt, wurden Konvergenzabschätzungen bewiesen, die sich von den optimalen Abschätzungen nur durch zusätzlich logarithmische Faktoren unterscheiden. Zum Test dieser Methode wurden Programme erstellt, die die Effektivität des Verfahrens für ein einfaches Beispiel unter Beweis stellen. Diese Programme werden gegenwärtig erweitert, um die Anwendbarkeit des Waveletzugangs für die Berechnung des Erdschwerefeldes aus Satellitenmessungen zu untersuchen. Außerdem sollen die erstellten Programme als Grundlage für zukünftig zu untersuchende adaptive Waveletverfahren dienen.
Projektliteratur:
, J. SCHULT, Multiwavelet
approximation methods for pseudodifferential equations on curves.
Stability and convergence analysis,
Adv. Comput. Math., 9 (1998), pp. 145-171.
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