Langzeitverhalten skalarer Reaktions-Diffusions-Gleichungen

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Langzeitverhalten skalarer Reaktions-Diffusions-Gleichungen

Bearbeiter: M. Wolfrum

Kooperation: B. Fiedler (Freie Universität Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Nichtlineare parabolische Reaktions-Diffusions-Gleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der verschiedensten physikalischen und chemischen Prozesse. Neben der raum-zeitlichen Dynamik chemischer Reaktionen beschreiben Gleichungen dieses Typs unter anderem auch Ionisationsvorgänge in der Plasmaphysik oder Populationsdynamik in der Biologie. Im Grenzwert kleiner Diffusionsraten $D\longrightarrow 0$ treten diese Gleichungen als viskoser Limes entsprechender hyperbolischer Erhaltungssätze auf und können zur Untersuchung von deren Entropielösungen herangezogen werden.

Untersucht wurden skalare Gleichungen der Form

$\begin{displaymath} u_t=Du_{xx} + f(u,u_x,x)\,,\end{displaymath}$ (10)

wobei $x\in [0,1]$ , $t\geq 0$ ist und f gewisse Glattheits- und Dissipativitätseigenschaften erfüllt. Auf einem geeigneten Banachraum von x-Profilen, die zusätzlich Neumann-Randbedingungen erfüllen, definieren Gleichungen dieser Form einen globalen Halbfluß. Der zugehörige Attraktor gibt Auskunft über das Langzeitverhalten aller Lösungen und liefert damit grundlegende qualitative Informationen, wie sie mit numerischer Simulation schwerlich zu finden sind.

Aufgrund der Gradientenähnlichkeit des Systems besteht der Attraktor nur aus stationären Lösungen und heteroklinen Verbindungen zwischen diesen (siehe [4]).

Eine generische Trajektorie nähert sich zunächst einer beliebigen, im allgemeinen nicht stabilen stationären Lösung an und folgt dann den heteroklinen Verbindungen in einer Kaskade von Übergängen zwischen metastabilen Zuständen, bis eine Umgebung einer stabilen stationären Lösung erreicht ist.

Während die Bestimmung der stationären Profile als Lösungen der gewöhnlichen Randwertaufgabe

$\begin{displaymath} Du_{xx} + f(u,u_x,x)=0,\; u_x(0)=u_x(1)=0 \end{displaymath}$ (11)

normalerweise kein Problem darstellt, ist die Frage nach der Struktur der heteroklinen Verbindungen erheblich komplizierter.

Ausgangspunkt dieses Projektes waren Arbeiten von C. Rocha, G. Fusco und B. Fiedler [1], [2], die zeigen, wie die Existenz heterokliner Verbindungen mit bestimmten kombinatorischen Invarianten der stationären Lösungen zusammenhängt. Wie in [3] erstmals gezeigt wurde, ist hierbei die Reihenfolge der stationären Lösungen am Rand des Gebietes von ausschlaggebender Bedeutung.

In [5] konnten weitergehende Resultate bewiesen werden, die eine genauere Beschreibung der Attraktoren ermöglichen und dabei insbesondere die Spektraleigenschaften der Linearisierung

L_vu:= Du_xx + f_p(x,v(x),v_x(x))u_x+ f_u(x,v(x),v_x(x))u,

die vom Sturm-Liouville-Typ ist, berücksichtigen. Damit konnten erstmals Bedingungen für die Existenz von heteroklinen Verbindungen in stark stabilen bzw. stark instabilen Mannigfaltigkeiten angegeben werden.

Das Besondere an Resultaten dieser Art ist, daß anhand von Eigenschaften der stationären, gewöhnlichen Differentialgleichung (2) Informationen über das qualitative Verhalten der vollen partiellen Differentialgleichung (1) gewonnen werden können.

**Abb. 1:** Profile von stationären Lösungen und zugehöriger Fluß auf dem Attraktor
$\ProjektEPSbildNocap {0.9\textwidth}{fb98_2_wolfrum_bild.eps}$

Projektliteratur:

P. BRUNOVSKý, B. FIEDLER, Connecting orbits in scalar reaction-diffusion equations II: The complete solution,
J. Differential Equations, 81 (1989), pp. 106-135.
B. FIEDLER, C. ROCHA, Heteroclinic orbits of semilinear parabolic equations,
J. Differential Equations, 125 (1996), no. 1, pp. 239-281.
G. FUSCO, C. ROCHA, A permutation related to the dynamics of a scalar parabolic PDE,
J. Differential Equations, 91 (1991), pp. 111-137.
D. HENRY, Geometric theory of semilinear parabolic equations,
Lecture Notes in Math., 840 (1981), New York.
M. WOLFRUM, Geometry of heteroclinic cascades in scalar parabolic differential equations,
Dissertation, Freie Universität Berlin, 1998.