Numerische Simulation des Strom- und Wärmetransportes

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Numerische Simulation des Strom- und Wärmetransportes bei hoher Trägerinjektion und hohen Temperaturen

Bearbeiter: H. Gajewski , H. Stephan , G. Albinus

Kooperation: G. Wachutka (Lehrstuhl für Technische Elektrophysik der Technischen Universität München)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Halbleiterbauelemente hoher Leistung`` [1]

Beschreibung der Forschungsarbeit: Ziel dieses Projektes ist die numerische Implementierung, Validierung und Kalibrierung eines erweiterten, physikalisch basierten Transportmodells für den Strom- und Wärmefluß in Halbleiterhochleistungsbauelementen unter Hochinjektions- und Hochtemperaturbedingungen. Ausgehend von einem auf den Prinzipien der irreversiblen Thermodynamik beruhenden elektrothermischen Transportmodell für die physikalisch konsistente Beschreibung des gekoppelten Ladungsträger- und Wärmetransports sowie der Selbstaufheizung des Halbleiterbauelements sollen geeignete numerische Algorithmen im Bauelementesimulator WIAS-TeSCA implementiert und an realen Bauelementen getestet werden.

In das bisher behandelte Drift-Diffusionsmodell (1) - (3) (die Nummern beziehen sich auf das unten angeführte Gleichungssystem) geht die Temperatur lediglich als Parameter (T= const.) ein, die Elektronen-Loch-Streuung wird vernachlässigt ( $\sigma_{np}=0$ in (5) - (6)), die Dynamik tiefer Störstellen wird nicht betrachtet (S=0 in (1)). Bei Leistungsbauelementen müssen Hochinjektions-, Hochfeldeffekte, innere Temperaturgradienten und die Dynamik tiefer Störstellen berücksichtigt werden. Das ist im unten angeführten Gleichungssystem der Fall durch:

Bestimmung des Gittertemperaturfeldes durch eine zusätzliche Gleichung (4). Sie ist mit den anderen Gleichungen nichtlinear über die Temperaturspannung (7) und (8), temperaturabhängige Materialparameter und stromabhängige Wärmequellen (H in (4)) gekoppelt [4, 5].
Berücksichtigung der Elektronen-Loch-Streuung bei hoher Injektion durch $\sigma_{np}\not=0$ in den Ladungsträgerstromansätzen (5) und (6) [3].
Berücksichtigung der Dynamik tiefer Störstellen durch das zusätzliche System gewöhnlicher Differentialgleichungen (13), das mit den anderen Gleichungen nichtlinear durch die Definitionen (9) - (11) über S, R_n und R_p in (1) - (3) gekoppelt ist [4].

Zur Simulation dieser Effekte wird das folgende Gleichungssystem betrachtet:

Grundgleichungen
Poissongleichung:

$\begin{eqnarray} -\nabla \cdot (\epsilon \nabla \psi) & = & q \left (C+S+n-p \right );\end{eqnarray}$

Kontinuitätsgleichungen:

$\begin{eqnarray} \frac{\partial n }{\partial t} & = & ~~\frac{1}{q} \nabla\cdot ... ...frac{1}{q} \nabla\cdot J_p+G_p(T,J_n,J_p, \nabla \psi)-R_p(n.p,T);\end{eqnarray}$

Wärmeleitungsgleichung:

$\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}\Bigg[\Big(c + \frac{3}{2} (n + p) k... ... & \nabla \cdot (\kappa \nabla T)+H(J_n,J_p,\nabla \psi,\nabla T).\end{eqnarray}$

Hierbei sind

$\psi$ - elektrostatisches Potential,
$\epsilon$ - Dielektrizitätskonstante,
n, p - Elektronen-/Löcherdichten,
C, S - Dotierung/Störstellen,
G_n,p, R_n,p - Generations-/Rekombinationsraten,
H - Wärmequellen,
$\kappa,~ c$ - Wärmeleitfähigkeit/-kapazität.

Ladungsträgerströme:

$\begin{eqnarray} J_n & = & -\sigma _n \nabla \varphi_n-\sigma_{np}\nabla \varphi... ...abla \varphi_p-\sigma_{pn}\nabla \varphi_n-\sigma_p P_p \nabla T;\end{eqnarray}$

$\varphi_n,~\varphi_p$ - Quasi-Fermi-Niveaus,
$\sigma_n,~\sigma_p, ~\sigma_{np}=\sigma_{pn}$ - elektrische Leitfähigkeiten,
P_n,p - elektrothermische Kräfte.

Zustandsgleichungen:

$\begin{eqnarray} n & = & N_c {\cal F} ((q(\psi-\varphi_n)-E_c)/kT),\ p & = & N_v {\cal F} ((q(\varphi_p-\psi)-E_v)/kT);\end{eqnarray}$

${\cal F}(s)$ - Verteilungsfunktion (Boltzmann- oder Fermistatistik),
N_c,v(T) - Zustandsdichten,
E_c,v(T) - Energiebandkanten.

Störstellenmodell (Volumen/Materialgrenzen)

$\begin{eqnarray} S & = & \sum _j(\delta N_tf)_j ~,\ R_n & = & \sum_j\left (N_t... ..._j ~,\ R_{\scriptscriptstyle{\rm SRH}} & = & s_ns_p(n_i^2-np)/z;\end{eqnarray}$

Evolution der Verteilungsfunktionen f=f_j:

$\begin{eqnarray} \frac{d f_j }{d t} + z f_j & = & z f_{je} ~,\ f_{je} & = & \f... ... (s_n n-e_n-s_p p+e_p)/z]_j,\ z_j & = & [s_n n+e_n+s_p p+e_p]_j;\end{eqnarray}$

N_t - Zustandsdichten,
$\delta =+1$ donator-, $\delta=-1$ akzeptorartig,
s_n,p - Einfangkoeffizienten,
$e_n=n_is_n e^{(E_t-E_i)/kT}, ~~n_i=\sqrt {N_cN_v}e^{-(E_c-E_v)/(2kT)}$ ,
e_p=n_is_p e^(E_i-E_t)/kT - Emissionsraten,
E_t - Aktivierungsenergien,
$E_i=(kT\log {\frac{N_v}{N_c}}+E_c+E_v)$ .

In diesem ersten Jahr der Bearbeitung des Projektes wurden numerische Algorithmen zur Lösung folgender Probleme implementiert:

Drift-Diffusionsmodell unter Berücksichtigung der Fermipotentiale beider Ladungsträger als Triebkraft für den Elektronen- bzw. Löcherstrom.
Berücksichtigung eines Temperaturfeldes durch eine zusätzliche Gleichung (Wärmeleitungsgleichung) und selbstkonsistente, nichtlineare Kopplung der Gleichungen über die Temperaturspannung, temperaturabhängige Materialparameter und stromabhängige Wärmequellen.

Projektliteratur:

H. GAJEWSKI, G. WACHUTKA, DFG-Antrag zum Projekt ,,Physikalische Modellierung und numerische Simulation von Strom- und Wärmetransport bei hoher Trägerinjektion und hohen Temperaturen``, 1996.
H. GAJEWSKI, Analysis und Numerik des Ladungsträgertransports in Halbleitern, GAMM-Mitteilungen, 16 (1993), pp. 35-57.
D. REZNIK, Generalized Drift-Diffusion Model of Bipolar Transport in Semiconductors, SISDEP, 1995.
A. SCHENK, Advanced Physical Models for Silicon Device Simulation, Springer Verlag, 1998.
G. WACHUTKA, Rigorous thermodynamic treatment of heat generation and conduction in semiconductor device modeling, IEEE Trans. on CAD, CAD-9 (1990), pp. 1141-1149.