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Bearbeiter: K. Sabelfeld,
Kooperation: S. Orszag, (Princeton University, USA),
T. Vesala (Helsinki University, Finnland),
O. Kurbanmuradov (Turkmenische Akademie der Wissenschaften, Aschchabad),
I. A. Shalimova (Russische Akademie der Wissenschaften, Novosibirsk)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die Untersuchung des turbulenten
Transports von reagierenden Wirkstoffen und Brennprozessen stellt eine
große theoretische und experimentelle Herausforderung dar
(vgl. [12]).
Bei der mathematischen Erfassung sind
stochastische Modelle von besonderer Bedeutung, da die
Wahrscheinlichkeitstheorie
eine natürliche Beschreibung von
Mischungen und Reaktionen kleiner Partikel in turbulenten
Strömungen liefert (vgl. [4] und [1]).
Schwerpunkt des Projekts ist die Untersuchung von
Nukleation, Transformation und
Transport von Aerosol-Partikeln in einer realistischen Umwelt
(z. B. turbulente Atmosphäre, Wasser und Boden).
Solche Medien sind charakterisiert durch hohe Fluktuationen der
physikalischen Felder. Hierbei ändern sich die zeitlichen und
räumlichen Maßstäbe enorm. Dies ist die Ursache aller Schwierigkeiten
bei der Benutzung konventioneller deterministischer
Methoden, die auf der halbempirischen Gleichung des turbulenten Transports
basieren. Deshalb ist die stochastische Betrachtungsweise, die die
Natur der Fluktuationen effektiv beschreibt, von besonderem Interesse.
Die untersuchten Prozesse werden durch Randwertprobleme mit
stochastischen Parametern für lineare und nichtlineare partielle
Differentialgleichungen beschrieben.
Es wurden stochastische Modelle benutzt, die sowohl den Itô-Typ
stochastischer Differentialgleichungen als auch Systeme von
gewöhnlichen Differentialgleichungen mit zufälligen
Parametern umfassen (vgl. [6], [3]).
Die stochastischen Algorithmen basieren auf neuen Eulerschen und
Lagrangeschen Modellen, die die Bewegung der Partikel in turbulenten und
porösen Medien beschreiben und auf probabilistischen Darstellungen
der Lösungen der Smoluchowski-Koagulations-Gleichung beruhen
(s. [10]).
Die Forschungen zu Aerosol-Formungs-Prozessen erfassen eine Vielfalt
von Phänomenen und Anwendungen in Physik, Chemie, Biologie,
Medizin und Aerosol-Wissenschaft in der Atmosphäre. Beispiele sind die
Berechnung der Nukleationsrate in den Wasser-Säure-Systemen
(s. [13]) (ein Schwerpunkt in der Smog-Forschung),
Koagulations-Prozesse im Aerosol-Reaktor
für die Produktion von Kunststoffen und moderne Aerosol-Technologie für
die Landwirtschaft (vgl. [2], [12], [9]).
Im Prinzip kann jede Inhomogenität im Gas zu Differenzen in den
Geschwindigkeiten der Partikel führen. Dann ist die relative
Geschwindigkeit zwischen zwei Partikeln positiv, und es findet
eine Kollision und vermutlich Koagulation statt.
Folgende Phänomene führen zur Koagulation
(s. [12], [9]):
Brownsche Bewegung, Gravitationsfall, freie molekulare Kollision, turbulente
Bewegung der tragenden Strömung, akkustische Wellen, Gradienten der
Dichte, der Konzentration und der Temperatur, elektrische Ladungen und
weitere.
Die einfachste inhomogene Form der Smoluchowski-Gleichung ist
(s. [10]):
![\begin{eqnarray*}
\frac{\partial n^E(t,x) }{\partial t}+v(t,x)\cdot\nabla_xn^E(t...
...(n^E(t,x)\right)+F(x,t);\ n^E(0,x)=0;\quad x\in R^3;\;t\in[0,T],\end{eqnarray*}](../../1997/html/images/img282.gif)
wobei
,
![\begin{displaymath}
K\left(n^E(t,x)\right)=\left\{\frac{1}{2}\sum\limits_{i+j}
K...
...um\limits_{i=1}^{\infty}K_{il}n^E_i(t,x)\right\}_{i=1}^{\infty}\end{displaymath}](../../1997/html/images/img284.gif)
und v(t,x) ein stochastisch simulierender Geschwindigkeitsvektor
mit gegebener Verteilung ist.
Falls die Koagulation in einer turbulenten Strömung betrachtet wird, ist
die Abschätzung der Partikelentwicklung
ein sehr schwieriges und auch noch nicht gelöstes
Problem. Mathematisch kann man dieses Problem durch
Smoluchowski-Gleichungen
mit zufälligen Koeffizienten beschreiben (s. [8]).
Folgende Zielstellungen wurden verfolgt:
- Entwicklung neuer stochastischer Algorithmen für die numerische
Lösung von partiellen und gewöhnlichen Differentialgleichungen
mit zufälligen Parametern.
Diese Algorithmen basieren auf neuen lokalen Integralgleichungen
(sphärischer Mittelwert) und
dem ,,Double Randomization``-Prinzip , s. [7];
-
Entwicklung und Analyse stochastischer Methoden für
die numerische Simulation der inhomogenen Eulerschen
turbulenten Geschwindigkeitsfelder für
verschiedene ,,Atmospheric Stratifications``, s. [3];
- Untersuchung neuer Lagrangescher
stochastischer Zweipartikelmodelle
für voll entwickelte Turbulenz, s. [3];
-
Anwendung Eulerscher und Lagrangescher
stochastischer Modelle zur Simulation des Transports von Aerosolpartikeln
in turbulenter Atmosphäre (vgl. [6], [3]);
-
Aufbau und Untersuchung stochastischer Algorithmen für die
Lösung der inhomogenen Smoluchowski-Gleichungen mit Anwendungen in der
Numerik der Nukleation und Koagulation
von Partikeln verschiedener Werkstoffe (vgl. [8],
[11], [13]).
Projektliteratur:
- U. FRISCH, Turbulence, Cambridge
University Press, 1996.
- K. P. KOUTZENOGII, A. I. LEVYKIN, K. K. SABELFELD,
Numerical simulation of the kinetics of aerosol formation
in the free molecular collision regime,
Journal of Aerosol Science, 27 (1996), No. 5, pp. 665-679.
- O. KURBANMURADOV, K. K. SABELFELD, D. KOLUHIN,
Stochastic Lagrangian models for two-particle motion in turbulent
flows. Numerical results, Monte Carlo Methods and Appl.,
3 (1997), No. 3, pp. 199-223.
- A. S. MONIN, A. M. YAGLOM, Statistical
Fluid Mechanics,
M. I. T. Press, Cambridge, 2 (1975).
- K. K. SABELFELD, Monte Carlo Methods in Boundary Value Problems,
Springer Verlag, Berlin (1991), p. 283.
-
K. K. SABELFELD, O. KURBANMURADOV, Stochastic Lagrangian models
for two-particle motion in turbulent flows, Monte Carlo Methods
and Appl., 3 (1997), No. 1, pp. 53-72.
- K. K. SABELFELD, I. A. SHALIMOVA, Spherical
Means for PDEs, VSP, Utrecht, The Netherlands, 1997.
-
K. K. SABELFELD, A. A. KOLODKO,
Monte Carlo simulation of the coagulation processes
governed by Smoluchovsky equation with random coefficients,
Monte Carlo Methods and Appl., 3 (1997), No. 4, pp. 275-310.
-
P. SAFFMAN, J. S. TURNER, On the collision of drops in
turbulent clouds, J. Fluid Mech., 1 (1956), pp. 16-30.
-
M. SMOLUCHOWSKI, Drei Vorträge über Diffusion, Brownsche
Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen, Phys. Z., 17 (1916),
pp. 557-585.
-
A. A. KOLODKO, W. WAGNER,
Convergence of a Nanbu type method for the Smoluchowski
equation, Monte Carlo Methods and Appl., 3 (1997), No. 4.
-
M. M. R. WILLIAMS, S. K. LOYALKA, Aerosol Science.
Theory and Practice, Pergamon, New York, 1991.
-
E. L. ZAPADINSKY, K. K. SABELFELD, M. KULMALA, D. M. RAKIMGULOVA,
Heterogeneous nucleation in non-uniform media: numeriacal
simulation, J. of Aerosol Science, 26 (1996), No. 8, pp. 1189-1195.
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