Diskretisierung von Attraktoren in zufälligen dynamischen Systemen

Bearbeiter: P. E. Kloeden  

Kooperation: B. Schmalfuß (Fachhochschule Merseburg), S. Shott, D. Stonier (Doktoranden, Deakin University, Geelong, Australien)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Als Numerische Dynamik wird neuerdings das Gebiet der Forschungen zur Diskretisierung dynamischer Systeme bezeichnet, speziell zur Reproduktion dynamischen Verhaltens in diskretisierten dynamischen Systemen, die durch Anwendung eines numerischen Verfahrens wie z. B. des Runge-Kutta-Verfahrens entstehen. Die meisten Ergebnisse betreffen bis jetzt deterministische Systeme, die durch autonome gewöhnliche Differentialgleichungen erzeugt werden, wie z. B. das Resultat in [6] über die Diskretisierung beliebig geformter Attraktoren. Bis jetzt sind nur wenige Ergebnisse zu nichtautonomen Systemen bekannt, sowohl zu deterministischen als auch zu stochastischen. Die Forschungsgruppe zur Stochastischen Dynamik um Prof. L. Arnold in Bremen hat kürzlich einen Begriff eines Kozyklen-Attraktors entwickelt (vgl. [1]), der besonders geeignet für Diskretisierungs- und Störungsuntersuchungen erscheint. Dieses Konzept wurde in [8], [9] und [10] auf deterministische Systeme übertragen. Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung einer entsprechenden Theorie einer stochastischen numerischen Dynamik, aufbauend auf einem vorbereitenden Resultat in [2]. Ein Überblick über dieses Problem wird in [5] gegeben.

Bereits früher wurde MAPLE-Software entwickelt für symbolisches Rechnen im Bereich der stochastischen Analysis, für stochastische Differentialgleichungen und die dazugehörige Numerik, wie in der Monografie [7] dargestellt. Diese Software ist Teil des MAPLE-public-domain-Softwarepakets ,,stochastics``. Eine Zielstellung im Rahmen des Projektes ist, diese Software um nützliche Routinen für stochastische dynamische Systeme zu erweitern, wie z. B. Linearisierung um eine gegebene Lösung, und eine vollständige Dokumentation der Software und der zugrundeliegenden theoretischen Fakten zu erstellen. Ein WIAS-Report hierzu ist in Vorbereitung.

Projektliteratur:

1.   L. ARNOLD, Random Dynamical Systems, Springer-Verlag, Heidelberg, 1998.
2.  L. ARNOLD, P. E. KLOEDEN, Discretization of a random dynamical system near a hyperbolic point, Math. Nachr., 181 (1996), pp. 43-72.
3.  H. CRAUEL, F. FLANDOLI, Attractors for random dynamical systems, Probab. Theory Related Fields, 100 (1994), pp. 365-393.
4.  P. E. KLOEDEN, Lyapunov functions for cocycle attractors in nonautonomous difference equations, WIAS-Preprint No. 385 (1998), erscheint 1998 in: Izv. Akad. Nauk RM Mathematika.
5.  P. E. KLOEDEN, H. KELLER, B. SCHMALFUSS, Towards a theory of random numerical dynamics, Random Dynamical Systems, Festschrift zu Ehren von Ludwig Arnold (F. Colonius, M. Gundlach, W. Kliemann, Hrsg.), Springer-Verlag, 1998.
6.  P. E. KLOEDEN, J. LORENZ, Stable attracting sets in dynamical systems and their one-step discretizations, SIAM J. Numer. Anal., 23 (1986), pp. 986-995.
7.  P. E. KLOEDEN, E. PLATEN, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Heidelberg, 1992.
8.  P. E. KLOEDEN, B. SCHMALFUSS, Lyapunov functions and attractors under variable time-step discretization, Discrete Conts. Dynamical Systems, 2 (1996), pp. 163-172.
9.  , Cocycle attractors sets of variable time-step discretizations of Lorenzian systems, J. Difference Eqns. Appl., 3 (1997).
10.  , Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization, Numer. Algorithms, 14 (1997), pp. 141-152.
11.  P. E. KLOEDEN, D. J. STONIER, Cocycle attractors in nonautonomously perturbed differential equations, erscheint in: Dynamics Conts. Discrete Impulsive Systems, 1998.