Behandlung von Problemen der Bruchmechanik und Kontinuumsmechanik mit Integralgleichungsmethoden

Bearbeiter: J. Elschner , J. Niebsch , S. Prößdorf , G. Schmidt  

Kooperation: V. G. Maz'ya, T. Ivanov (Universität Linköping), G. Monegato (Technische Universität Turin), O. Hansen (Universität Mainz)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

1. Probleme der Bruchmechanik

 

Die Bestimmung der für die Bruchmechanik wichtigen K-Faktoren erfordert die Lösung von Randwertproblemen der linearen Elastizitätstheorie. Dabei erweist sich der Einsatz von Integralgleichungs- und Randelementmethoden oft als effektiver als die Verwendung von Finite-Elemente-Methoden. Zum Beispiel führt die Behandlung der ersten Randwertaufgabe der Elastizitätstheorie auf die Integralgleichung von Lauricella-Sherman:  

$$u(x)-\frac{1}{\pi(n-1)}\int\limits_{\Gamma} \frac{(x-y)\cd... ...-y\vert^{2}} \right\} u(y)d\Gamma(y) = f(x),\;\; x\in\Gamma\;.$$ (1)

Dabei bezeichnen $\nu$ die Normale an dem Rand $\Gamma$ des Gebietes, E_n die Einheitsmatrix der Ordnung $n,\kappa=(\lambda+\mu)/(\lambda+3\mu)$ und $\lambda,\mu$ die Lamé-Koeffizienten; n=2 entspricht dem Fall des ebenen und n=3 dem Fall der räumlichen Elastizitätstheorie.

In [1] wurden mit Hilfe von Mellin-Techniken neue Resultate zur Existenz, Eindeutigkeit und Regularität in L_p-Räumen und Sobolewräumen mit Gewicht für die Integralgleichung (1) auf dem Rand eines ebenen Gebietes mit Ecken erzielt. Auf der Grundlage dieser Lösbarkeitstheorie gelang es erstmalig, die Stabilittät von Kollokationsverfahren mit stückweise polynomialen Ansatzfunktionen (Splines) im Fall polygonaler Gebiete zu begründen. Des weiteren wurde gezeigt, daß diese Verfahren bei Verwendung graduierter Gitter eine optimale Konvergenzordnung aufweisen.

Gegenwärtig beschäftigen wir uns mit dem (wesentlich schwierigeren) Problem der analytischen und numerischen Behandlung von Randintegralgleichungen der Elastizitätstheorie über 3D-Gebieten mit nichtglattem Rand (z. B. Polyedergebiete). Erste Untersuchungen zu einer Lösbarkeits- und Regularitätstheorie in geeigneten gewichteten Sobolewräumen für die Integralgleichung (1) auf einem Polyederrand wurden begonnen.

2. Kontaktprobleme

 

Verschiedene Kontaktprobleme der ebenen Elastizitätstheorie führen auf die Integralgleichung 1. Art

  $$\begin{eqnarray} &&\int\limits^{\alpha}_{-\alpha} \{ 4[\sin(\theta-\omega)\ln (\... ...mega)d\omega = G(\theta)\;,\;\;\alpha<\theta<\alpha\;, \nonumber \end{eqnarray}$$

mit gegebenen Konstanten $\alpha$ und $\nu$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2},\;0<\nu<1$, und einer bekannten Funktion G. Gesucht ist eine symmetrische Lösung F von (2), die der Bedingung  

$$\int\limits^{\alpha}_{-\alpha}F(\omega)d\omega =\frac{1}{2}$$ (2)

genügt.

Durch Anwendung des Differentialoperators $1+\frac{d^2}{d\theta^2}$und der anschließenden Variablentransformation $x=(\sin \omega)/\sin\alpha$ wurde in [5] das Problem (2), (3) auf die Gleichung  

$$\frac{\sqrt{1-t^{2}\sin^{2}\alpha}}{\sin \alpha} \int\limit... ...{2} \int\limits^1_{-1}K(x,t)\rho(x)u(x)dx =f(t),\;\; -1<t<1\;,$$ (3)

unter der Bedingung  

$$\int\limits^1_{-1}\rho(x)u(x)dx =\frac{1}{2}$$ (4)

zurückgeführt, wobei $\rho(x)=1/\sqrt{1-x^{2}}$ und K(x,t)=1 für $0\le x\le t,\; K(x,t)=0\mbox{\ sonst}$ ist. Dabei ist das erste Integral in (4) im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes zu verstehen. Gleichung (4) stellt eine Verallgemeinerung der bekannten Prandtlschen Tragflügelgleichung dar. In [5] wurde die eindeutige Lösbarkeit von (4), (5) im gewichteten Raum $L^2 (\rho)$ für beliebiges $f\in L^2 (\rho)$ bewiesen und die analytische Lösung explizit konstruiert. Außerdem wurden die Beziehungen zwischen den Lösungen der Probleme (2), (3) und (4), (5) studiert. Unter Benutzung Tschebyscheffscher Polynome wurde ein effizientes Verfahren zur numerischen Lösung von (2), (3) entwickelt und numerische Experimente durchgeführt.

3. Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer partieller Integro-Differentialgleichungen basierend auf semi-analytischer Kubatur von Potentialen

 

Iterative Integralgleichungsmethoden sind ein interessantes alternatives Lösungsverfahren für nichtlineare Randwertaufgaben, insbesondere wenn diese auch Integraloperatoren mit singulären Kernfunktionen enthalten. Durch Anwendung einer von V. Maz'ya vorgeschlagenen Approximationsmethode mittels glatter, schnell abfallender Funktionen und daraus abgeleiteter effektiver Kubaturformeln für verschiedene singuläre Integrale und Potentiale (vgl. [4]) wurden von Maz'ya/Karlin [3] unter anderem Zeitschrittverfahren zur Lösung von Evolutionsproblemen entwickelt, die bei numerischen Tests zur Lösung von Anfangswertproblemen verschiedener Klassen von Gleichungen sehr genaue Resultate liefern. Die theoretische Untersuchung des Konvergenzverhaltens dieser Verfahren wird durch das Auftreten von sogenannten Sättigungsfehlern bei der Approximation erschwert. 1997 wurden erste Arbeiten zur numerischen Analysis solcher Verfahren für einen wichtigen Spezialfall durchgeführt. Insbesondere wurden Fehlerabschätzungen theoretisch begründet sowie die optimale Wahl von Parametern untersucht. Es ist vorgesehen, diese Ergebnisse u. a. auf Gleichungen aus der Dislokations- und Plastizitätstheorie zu verallgemeinern. Hierbei ist ein in [2] entwickelter Zugang für die Kubatur von Integraloperatoren in beschränkten Gebieten anzuwenden, der auf der Quasiinterpolation der Dichte auf speziellen, sich zum Rand hin häufenden Gitterpunkten basiert.

Projektliteratur:

1.   J. ELSCHNER, O. HANSEN, A collocation method for the solution of the first boundary value problem of elasticity in a polygonal domain in $\IR^2$, WIAS-Preprint No. 354, 1997, eingereicht in: J. Integral Equations Appl.
2.   T. IVANOV, V. MAZ'YA, G. SCHMIDT, Boundary layer approximations and cubature of potentials in domains, in Vorbereitung.
3.   V. KARLIN, V. MAZ'YA, Time-marching algorithms for non-local evolution equations based upon ``approximate approximations'', erscheint in: SIAM J. Sci. Comput.
4.   V. MAZ'YA, G. SCHMIDT, ``Approximate Approximations'' and the cubature of potentials, Rend. Mat. Acc. Lincei, 6 (1995), pp. 161-184.
5.   G. MONEGATO, S. PRÖSSDORF, On the solution of an integral equation of first kind arising in contact problems, erscheint in: J. Integral Equations Appl.